Binomická věta
Dušan Polanský
O co vůbec jde? Je to o tom, jak pokud možno snadno spočíst celočíselnou mocninu binomického mnohočlenu, tedy např. (a + b)6. Můžete to udělat tak, že mezi sebou roznásobíte (a + b) . (a + b) . (a + b) . (a + b) . (a + b) . (a + b). Postup si můžete vyzkoušet, snad se nepomýlíte, já určitě jo. Ale co když bychom měli spočíst (a + b)11? To už není nervově zvládnutelné pouhým roznásobením. Chci vám ukázat postup, který jsem kdysi dávno někde odkoukal, jak se k výsledku logicky dopracovat. Formuli, kterou si odvodíme, odvodil již Isaac Newton (1643 - 1727), proto je také známá jako Newtonova formule. Jak formuli odvodil Isaac Newton nevím. Dnes je je tahle formula spíš známá jako binomická formule nebo binomická věta. Při výkladu si vystačíme s učivem ze základní školy. Ovšem předtím si musíme vysvětlit pojem kombinačního čísla, tohle se na základce nebere. Není to nic složitého.
Kombinační číslo udává počet způsobů, kolika lze vybrat k-prvkovou podmnožinu z n-prvkové množiny bez ohledu na pořadí. Názorně: máme čtyři prvky a, b, c a d. Kolika způsoby můžeme vybrat z těchto 4 prvků např. 2-prvkovou podmnožinu bez ohledu na uspořádání. Jsou to tyhle 2-prvkové podmnožiny: ab, ac, ad, bc, bd a cd. Je jich 6. Jak se k tomuto číslu dopracovat máte uvedeno v bodě č. 1 na obrázku č.1. Pokud by to měly být 3- prvkové podmnožiny, výpočet podle zmíněného vzorce by nám dal číslo 4. Opravdu, 3-prvkové podmnožiny jsou: abc, abd, bcd a acd.
Na obrázku č.1 v bodě č. 2 jsem rozepsal základní úvahu, která nás dovede spolehlivě a bezbolestně k cíli.
Na obrázku č. 2 je zobecnění základní úvahy. Na závěr jsem zařadil výpočet příkladu z úvodu, tedy výpočet (a + b)6. Zkuste si z cvičných důvodů výpočet (a + b)11. Bude to trochu otravný a hlavně dlouhý výpočet, ale nechť je vám útěchou, že s binomickou větou se budete potkávat v matematice jak na střední i vysoké škole, tedy pokud se nerozhodněte pro jiné profesní zaměření. Podobně to bude i s kombinačními čísly.
Lehce si sami odvodíte formuli pro (a - b)n. Stačí zohlednit příslušné znaménko u b. U b a lichých mocnin b bude u výsledných členů znaménko -, u sudých +.
Rozvoj podle binomické věty obsahuje n + 1 členů pokud je (a + b) umocněno na n.
Zajímavý výsledek dostaneme, pokud za a a b dosadíme 1, tedy když spočteme 2n. Ve výsledné formuli nám bude figurovat jenom součet kombinačních čísel. Můžeme říct, že n-prvková množina obsahuje právě 2n podmnožin. Vyzkoušejme si to např. pro rozvoj (1 + 1)3, tedy že 3-prvková množina (a, b, c) obsahuje 8 podmnožin. Které to jsou? Nulová podmnožina, a, b, c, ab, ac, bc, abc.
Zatím jsme se bavili jenom o matematice. Chtělo by to alespoň jednu ukázku aplikace binomické věty mimo matematiku. Vybral jsem fyziku, ta mi je nejbližší. Na obrázku č. 3 jsme binomickou větu aplikovali na výraz (1 + x)n a předpokládali jsme, že x je v absolutní hodnotě výrazně menší než 1. Při takovéto úpravě mluvíme o tzv. linearizaci. Ve fyzice má docela hodně použití. Výsledný přibližný tvar našeho snažení je v rámečku. V poznámce je uvedeno, že tento přibližný člen platí i pro jiné hodnoty exponentu n. Jako příklad jsou uvedeny tři hodnoty exponentů, které se v praxi hodně používají.
Příklad jsem vybral z teorie relativity. Jsme si vědom, že tahle látka se bere až ve vyšších ročnících na střední škole, proto jenom stručně: Podle teorie relativity hmotnost tělesa závisí na jeho rychlosti podle vzorce uvedeného v zadání příkladu. Máme spočíst přibližnou hodnotu kinetické energie tělesa, pokud rychlost tělesa v je výrazně menší než rychlost světla c, což je v praxi dost častý příklad. Zmíněný vzorec jsme linearizovali a kinetickou energii jsme spočetli jako rozdíl celkové energie mc2 a klidové energie moc2. Vyšlo nám, že kinetická energie je přibližně rovná vzorci pro kinetickou energii, tak jak jej známe z klasické fyziky, jenom místo hmotnosti musíme dosadit klidovou hmotnost mo. Ovšem opět si zdůraznime, že je tomu tak, pokud je rychlost tělesa v výrazně meněí než rychlost světla. A to je vše.
V Brně 6. července 2026.