Jak funguje společný jmenovatel?
Dušan Polanský
Asi jak to se společným jmenovatele je, víme všichni školou povinní, tedy pokud jsme se dopracovali až do devítky a neměli jsme z matematiky na vysvědčení čtyřky. Když např. máme sečíst dva zlomky, které mají různé jmenovatele, najdeme takového jmenovatele, říká se mu společný, aby oba jmenovatele zlomků, které máme sečíst, byly děliteli společného jmenovatele. Pak už je postup mechanický. Stačí se zeptat: Kolikrát se nachodí jmenovatel prvního zlomku v společném jmenovateli? Tímto číslem vynásobíme čitatele prvního zlomku. Stejný postup zopakujeme i pro druhý zlomek. Nakonec čitatele sečteme a podělíme společným jmenovatelem. Pokud se dá výsledný zlomek ještě vykrátit, tak jej vykrátíme. A je hotovo, jakápak věda.
Jistě věda to není, ale nabízí se otázka, proč to právě takto funguje. A právě to se pokusíme spolu vysvětlit na dvou příkladech. První bude o krájení dorty, druhý vymyšlený jen tak, abychom si ukázali analogický postup i při složitějších zlomcích, kde dokonce bude vystupovat neznámá x. Začneme tím, že zapomene na postup uvedený výše, a pokusíme se jej objevit sami.
Začneme příkladem o krájení dorty. Z dortu jsme ukrojili 1/3 a poté 1/7. Ptáme se, jaká část dortu nám zůstala na podnosu.
Tušíme, že nějak přesně porovnat třetinu a sedminu dortu je problém, přibližně to možné je, ale s tímhle bychom u matematiků nepochodili. Nezbývá nám nic jiného, než najít takové rozdělení celého dortu na menší kousky, aby se nám celý počet těchto menších kousků vlezl do třetiny a sedminy dortu. Když budeme tyto počty menších kousků znát, sečteme je a budeme vědět, jakou část dortu vyjádřenou v těchto menších kouscích dortu jsme ukrojili. Spočíst kolik nám toho již zůstalo bude velice jednoduché. Problém je, zjistit, jak veliké tyhle menší kousky dortu mají být. Tedy hledáme číslo, pokud možno nejmenší, třebaže to není nutnou podmínkou, v němž se čísla 3 a 7 nachodí beze zbytku. Takovým číslem je 21. Do jedné třetiny dortu se nám vleze 7 menších kousků a do sedminy dortu 3 menší kousky. Mohli bychom dortu rozdělit např. i na 42 kousků, dopracovali bychom se sice nakonec ke stejnému výsledku, ale až po vykrácení zlomku. Celý postup výpočtu dle této úvahy je podrobně uveden na prvním obrázku. Z této úvahy plyne i formální postup výpočtu, který známe ze školy. Teď ale už víme, proč to tak děláme, jak to děláme.
Druhý příklad vypadá složitější, ale klid, je to jenom na první pohled, viz druhý obrázek. Máme sečíst dva zlomky, v nichž vystupuje dokonce neznámá x. Víme, že matematika má problémy se zlomky, v nichž jmenovatel je nulový, jednoduše nic takového v matematice není definováno, proto jmenovatel u zlomků nesmí být nula. I v našem zadání jsme vyloučili dvě hodnoty neznámé x, a to 3 a –2, protože po dosazení x = 3 do prvního zlomku a x = 2 do druhého zlomku bude jmenovatel nula. Jinak postup je analogický dortovému výpočtu. Nesmíme se nechat zmást složitějšími tvary jmenovatelů. Opět musíme najít společného jmenovatele, tím je opět společný násobek obou výrazů. Pro zajímavost je v posledním bodě provedena kontrola výsledku dosazením x = 1. Můžeme si zvolit jakékoliv jiné x kromě čísel 3 a –2.
Společný násobek všech jmenovatelů coby společný jmenovatel funguje vždy, kupříkladu když máme najít společného jmenovatele třech dílčích jmenovatelů 6, 4, 8 a nechceme si trápit hlavu zjišťováním nejmenšího společného jmenovatele, tak jmenovatele vynásobíme: 6.4.8 nám dá 192. Klidně můžeme s ním počítat, jenom nás asi učitel za to moc nepochválí a výpočet bude trochu nešikovnější, neboť snadněji by se nám počítalo s nejmenším společným jmenovatelem, což je 24. Obvykle nejmenší společný jmenovatel zjišťujeme prvočíselným rozkladem. V našem příkladě to vypadá takto: 6 = 2.3; 8 = 23; 4 = 22. Nejmenší společný jmenovatel pak bude 23.3 = 24. A to je vše.
V Brně 29. října 2025