Ortogonální transformace
Dušan Polanský za pomoci AI
Matematici transformace milují, ale řekl bych, že ještě více jsou oblíbené u fyziků. Stačí si vzpomenout z fyziky např. na známou Lorentzovou transformaci ze speciální teorii relativity, která se učí i na střední škole. Ovšem zápis této transformace v podobě tzv. matice – pojem, který se na střední škole neučí – je elegantnější. Jenže je tu problém, matice se učí až na vysoké škole. Ale po pořádku, abychom zde neskákali jako polní zajíc v brázdě.
Na základce se pozornost věnuje hlavně geometrickým transformacím v rovině. Jsou to pevně stanovené předpisy, podle kterých se mění poloha, tvar nebo velikost geometrických útvarů. Každému bodu původního útvaru (vzoru) se přiřadí nový bod (obraz). Geometrické transformace se dělí na shodná zobrazení (posunutí, osová souměrnost, středová souměrnost, otočení) a podobná zobrazení (stejnolehlost). Shodná zobrazení zachovávají vzdálenosti mezi body i velikosti úhlů. Výsledný obraz má stejný tvar i velikost jako původní vzor, proto shodnost. Podobná zobrazení zachovávají velikosti úhlů a poměry vzdáleností, ale mění se velikost útvaru, tedy útvary nejsou stejné, ale jsou si podobné.
My si budeme povídat o ortogonální transformaci, která patří do širší skupiny tzv. lineárních zobrazení v matematice. Ortogonální transformace zachovává délky, úhly a počátek. Proč si budeme povídat právě o téhle transformaci? Vedou nás k tomu dva důvody. První: pokud se na ně podíváme z pohledu geometrie, tvoří samotný základ pro všechna shodná zobrazení. Jednoduše řečeno: každá geometrická shodnost se dá vyjádřit pomocí ortogonální transformace. Druhý důvod je tak trochu estetický, každá taková transformace se dá vyjádřit pomocí matice. Zápis transformace pomocí matice je totiž stručný a v praxi se běžně používá.
Pokud se zatím moc nechytáte, nic se neděje, vše si postupně vysvětlíme. První obrázek jsem nechal v podobě mého rukopisu, ostatní jsme dal přepsat a uhladit AI do latexového formátu, a z toho jsem vygeneroval .pdf formát. Všechny .pdf dokumenty jsou volně k stažení.
Začnu inverzní maticí, protože je to nejtěžší pojem z našeho výkladu. Časem si ukážeme, že pro všechny ortogonální transformaci platí, že jejich inverzní matice (viz dále) je stejná jako matice transponovaná (viz dále, ale to prosté, z řádků se udělají sloupce).
Sice v celém výkladu výpočet inverzní matice k dané matici není požadován, ale intuitivní znalost výpočtu není na závadu už jenom kvůli tomu, že člověk má pak pocit, že má nad výkladem kontrolu. Na obrázku níže je nahrubo uvedeno, co to vůbec matice je. Prvek označený indexy 1 a 2 např. a12 nám říká, že prvek je umístěn v prvním řádku a v druhém sloupci. My si v rovině vystačíme s matici o rozměru 2 × 2, která má dva řádky a dva sloupce. V praxi, hlavně technické, matice bývají nejednou pěkní obři. Dále je vysvětlen pojem determinantu matice a jeho výpočet. Pak je vysvětlena poměrně složitá operace násobení matic (přesnější definice téhle operace je uvedena dále) a nakonec vlastní výpočet inverzní matice. Ten pracuje s tzv. algebraickými doplňky k jednotlivým prvkům. Výpočet takového doplňku je ukázán u algebraického doplňku D11. Z původní matice vyškrtnete první řádek a první sloupec a vynásobíte to, co zbude, v našem příkladu matice 2 × 2 je to vždy jenom jedno číslo, celým číslem (-1)1+1. Kontrola správnosti výpočtu je snadná. Matice A vynásobená inverzní maticí musí dát I, tedy jednotkovou matici, i když to uděláme opačně, tedy vynásobíte inverzní matici maticí A. U matic totiž automaticky neplatí, že AB = BA. Platit to někdy může, ale nemusí.
Systematický výklad
Jakýsi prolog, který vysvětluje pojmy, s nimiž budeme v dalším pracovat, je uveden v prvním .pdf dokumentu. Body 12 a 13 si moc nevšímejte, sice jsem je tam dal, ale pokud jsou zatím ne zcela jasné, nic se neděje. Podrobně budou vysvětleny v dalším .pdf dokumentu. Pokud byste měli se stažením souborů problémy, doporučuji kliknout na zvýrazněný odkaz pravým tlačítkem a zvolit "Otevřít odkaz na nové kartě" a pak si soubor uložit pod názvem, jaký vám vyhovuje.
Ke stažení prolog k ortogonální transformaci ve formátu .pdf: Stáhnout dokument (pdf)
V dalším dokumentu je podrobně vysvětlena ortogonální transformace.
Ke stažení odvození ortogonální transformaci ve formátu .pdf: Stáhnout dokument (pdf)
Co by to byl za výklad, kdyby chyběl praktický, i když jednoduchý, příklad.
Ke stažení příklad na použití ortogonální transformaci ve formátu .pdf: Stáhnout dokument (pdf)
Nejednou jsou v učebnicích výklady zkrácené jednak kvůli úspoře místa, a jednak autoři předpokládají určitou matematickou zdatnost od čtenářů. Takovému chápání výkladu jse se snažil vyhnout. Snad se mi to alespoň trochu povedlo. A to je vše.
V Brně 22. 8. 2026.