Dělitelnost čísel
Dušan Polanský
Pokud si zle nedobře vzpomínám na základní školu, dělitelnost přirozených čísel čísly 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 a 10 jsme brali v osmičce. Na 7 jsem nezapomněl, tuhle dělitelnost jsme se neučili, je totiž k zapamatování těžká. Důkazy nám učitelka, kterou jsem opravdu nemusel, vysvětlila pouze u dělitelnosti čísly 2, 5 a 10, ostatní dělitelnosti jsme znali mechanicky.
Nedávno jsem si lehce povídal o prvočíslech s vnukem, který chodí do čtvrté třídy. Popravdě byl v tom docela ztracen, asi jako já v hudebních notách. Ani se nedivím, prvočísla jsou noční můrou i uhelným kamenem matematiků hlavně kvůli Riemannově hypotéze. Důkaz této hypotézy je považován za jeden z nejdůležitějších nevyřešených problémů současné matematiky. Pokud vás to zajímá více zadejte si do vyhledávače heslo Riemannova hypotéza. Uveďme si, že bez hlubších znalostí z teorie prvočísel bychom neměli k dispozici např. šifrování tajných zpráv pomocí prvočísel a ani digitální podpis. Kupříkladu i poselství mimozemským civilizacím předpokládá, že mimozemšťané umí číslo 1679 rozložit na součin dvou prvočísel. Zkuste si to vyzkoušet sami např. metodou pokus omyl, tedy postupně dělte 1679 prvočísly 3, 5, 7 atd. a pokaždé se snažte zjistit, zda výsledek je prvočíslo nebo ne. Pokud to bude, máte vyhráno, pak jste pozemšťan i mimozemšťan. Možná vám při testování výsledku, zda je nebo není prvočíslo, pomůže právě znalost dělitelnosti čísel.
Ovšem dělitelnost čísel se nebudeme učit mechanicky, ale ukážeme si, jak se dá dokázat. Někdy důkazy budou jednoduché, takříkajíc přirozené, někdy nám budou připadat trochu umělé, přitažené za vlasy, protože si v duchu povíme: Tak na to bych sám nikdy nedošel! Ovšem to vůbec nevadí, také nikdo z nás neumí napsat Evžena Oněgina jako Puškin, ale přesto při jeho čtení si říkáme: To je nádhera. A ne jinak to může být i s důkazy dělitelnosti. Když je pochopíme, možná si řekneme: Božínku, to je jednoduchá nádhera. Takže do toho!
Na obrázku č. 1 (číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek) je přehled základních pojmů s nimiž budeme pracovat. Nejdůležitější pro nás bude skutečnost, že budeme pracovat v desítkově soustavě, tedy k zápisu čísla budeme používat cifry 0, 1 až 9. Ale jsou i jiné soustavy, kupříkladu poselství mimozemšťanům pracuje s binárním kódem, tedy veškerá čísla jsou ve tvaru, který využívá pouze cifry 1 a 0. Kupříkladu dvojkový zápis čísla 268 vypadá takto: 100001100. Tento zdánlivě formální zápis ve skutečnosti obnáší tohle: 268 = 0.20 + 0.21 + 1.22 + 1.23 +0.24 + 0.25 + 0.26 + 0.27 + 1.28.
Každé přirozené číslo lze zapsat v desítkové soustavě jako součet dílčích sčítanců s využitím mocnin čísla 10, kupříkladu číslo 2865 se v desítkové soustavě napíše takto: 2865 = 2. 103 + 8.102 + 6.101 + 5.100. Protože 101 je 10, 100 je 1, obvyklejší zápis je tento: 2. 103 + 8.102 + 6.10 + 5. Dále budeme pracovat s ciferným součtem čísla, který budeme značit s, kupříkladu pro číslo 781 je s = 7 + 8 + 1 = 16. Pro nás starší doplňme, že kdysi se cifrám říkalo také číslice. Dnes se v česky psané matematické literatuře používá výhradně termín cifra. Kupříkladu číslo 1570 má čtyři cifry: 1, 5, 7 a 0, a to by na úvod bohatě stačilo.
A teď konečně znění věty, kterou budeme v dalším, někdy lehce, někdy těžce, dokazovat.
Přirozené číslo n je dělitelné:
- dvěma, je-li jeho poslední cifra sudá,
- třemi, je-li jeho ciferný součet dělitelný 3,
- čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné 4,
- pěti, je-li jeho poslední cifra 0 nebo 5,
- šesti, je-li sudé a dělitelné 3,
- sedmi, je-li dvojnásobek počtu stovek zvětšený o poslední dvojčíslí dělitelný 7,
- osmi, je-li poslední trojčíslí dělitelné 8,
- devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný 9,
- desíti, je-li jeho poslední cifra 0.
Důkazy jsou uvedeny na obrázcích č. 2, 3 a 4. Chybí tam pouze důkaz o dělitelnosti přirozeného čísla 10, ale ten je tak samozřejmý, že jsem jej vypustil. Stačí, aby na konci čísla byla 0.
U téměř všech ostatních důkazů je princip důkazů víceméně stejný. Půjde o vykuchání z čísla, jehož dělitelnost nějakým číslem zjišťujeme, jisté časti, která je tutově daným číslem dělitelná, a pak nám bude stačit zjistit dělitelnost zbytku, který vznikne odečtením vykuchané části od daného čísla. My to máme usnadněno tím, že již předem víme, jaký bude zbytek.
Jednoduchý je důkaz dělitelnosti 2. Čísla, která přichází do úvahy jsou: 2, 4, 6, 8 ... Vesměs jsou to čísla sudá.
U dělitelnosti 3 víme, že zbytek bude tvořen ciferným součtem čísla. Pak nám stačí otestovat tento zbytek na dělitelnost 3. Samotné číslo, jehož dělitelnost zjišťujeme si označme n. Vidíme, že pokud 3|s, a protože rozdíl n - s je dělitelný 3, tak 3 také dělí součet s + (n - s) = n.
U většiny dalších dělitelností není větší problém vykuchat z čísla onu část, která je dělitelná příslušným číslem. U dělitelnosti 4 víme, že číslo, které má na konci minimálně dvě nuly, tedy je stovkové, je dělitelné 4, jelikož 4|100. Pak o dělitelnosti rozhoduje pouze číslo c1.10 + c0.
O dělitelnosti 5 rozhoduje pouze číslo c0, protože číslo, které má na konci minimálně jednu 0, tedy je desítkové, je dělitelné 5. Tedy pokud c0 je 0 nebo 5 je číslo dělitelné 5.
Jednoduchý je důkaz dělitelnosti 6. Čísla, která přichází do úvahy pro dělitelnost 6 jsou: 6, 12, 18, 24 ... Vesměs jsou to čísla sudá. Ovšem sudost k důkazu dělitelnosti 6 nepostačuje, kupříkladu číslo 40 je sudé, ale dělitelné 6 není. My ovšem víme, že číslo 6 a jeho násobky jsou dělitelné 3. Tedy nutnou a postačující podmínkou dělitelnosti číslem 6 je jeho sudost a dělitelnost 3, např. číslo 258 je sudé a dělitelné i 3.
U důkazu dělitelnosti 7 je postup jenom zdánlivě složitější. Označme si dvojnásobek počtu stovek zvětšený o poslední dvojčíslí m. Samotné číslo, jehož dělitelnost zjišťujeme si označme n. Vidíme, že pokud 7|m, a protože rozdíl n - m je dělitelný 7, tak 7 také dělí součet m + (n - m) = n.
Velice podobně jako u dělitelnosti 4 je to u dělitelnosti 8, opět víme, že každé tisícovkové číslo, tedy takové, které má na konci minimálně tři nuly, je dělitelné 8, protože 8|1000. Pak o dělitelnosti 8 rozhoduje pouze číslo c2.102 + c1.10 + c0.
U dělitelnosti 9 víme, že zbytek bude tvořen ciferným součtem čísla. Pak nám stačí otestovat tento zbytek na dělitelnost 9. Samotné číslo, jehož dělitelnost zjišťujeme si označme n. Vidíme, že pokud 9|s, a protože rozdíl n - s je dělitelný 9, tak 9 také dělí součet s + (n - s) = n.
U zjišťování dělitelnosti u větších čísel to chce obvykle několik kroků. Kupříkladu 9|706 914 a současně 3|706 914. Proč? Protože s = 27 a 9|27 a rovněž 3|27. A jelikož číslo 706914 je sudé, je také 2|706 914. A protože naše číslo je dělitelné 2 i 3, tím je také dělitelné i 6. A to je vše.
V Brně 31. prosince 2022.