Něco málo o exponenciálních rovnicích
Dušan Polanský
Řešení exponenciálních rovnic patří k tradičnímu matematickému folklóru na středních školách. Na internetu je k této látce hromada řešených příkladů, je tudíž logické, že mým cílem není čtenáře učit, jak se takové rovnice řeší. Jednak by to bylo nošení dříví do lesa, a jednak by mě to ani nebavilo. Jenom si shrňme, jak se takové rovnice principiálně řeší.
U prvního typu těchto rovnic se nám šikovnými algebraickými úpravami podaří převést mocniny vyskytující se v rovnici na stejný základ, no a protože se levá strana musí rovnat pravé, stačí pak dát do rovnosti exponenty na levé a pravé straně a spočíst neznámou (obvykle značenou jako x). Na obrázku pod bodem č. 1 je na ukázku uvedený takový typ (velice jednoduché) rovnice i s řešením.
Než se zmíníme o druhém typu rovnic ujednotíme si označení logaritmů: lga c – logaritmus čísla c při základě a, kupříkladu lg5 14. Dekadický logaritmus lg10 c značíme dle úzu log c, např. log 100 = 2. Na vysoké škole se hodně pracuje s logaritmem, který má za základ Eulerovo číslo e, takový logaritmus se nazývá přirozený logaritmus a značí se ln. S tímto logaritmem zde pracujeme jenom okrajově.
U druhého typu exponenciálních rovnic nelze členy rovnice převést na společný základ. V tomto případě se postupuje tak, že se celá rovnice zlogaritmuje. Proč tato úprava vede k cíli, je vysvětleno v bodě č. 2.
Přirozená otázka, která se v souvislosti s různými základy mocnin nabízí, zní: Pokud známe např. dekadické algoritmy všech čísel větších než nula, dokážeme „nějak“ šikovně určit logaritmy těchto čísel při jiném základu než je 10? Odpověď je kladná, a dovolím si doporučit dobře pochopit, proč tomu tak je. Vysvětlení je uvedeno v bodě č. 3. Ovšem základ 10 není ničím extra privilegovaným, jenom je velice názorný a šikovně se s ním pracuje. Tahle úvaha nám umožňuje uvažovat např. i tak, že si představíme, že známe přirozené logaritmy všech čísel větších než nula, a chceme z jejich znalostí odvodit dekadické logaritmy, např. zkuste se ujistit, že opravdu platí: log 8 = ln 8/ln 10.
Logaritmy sice moc nepatří mezi oblíbenou látku, působí na studenty dosti abstraktně, ale jejich uplatnění v praxi je značné. Určitě jste slyšeli pojem decibel (dB). Je to bezrozměrná logaritmická jednotka používaná v akustice, telekomunikační technice apod. Používá se tam, kde je potřeba vyjádřit poměr dvou veličin ve velkém číselném rozsahu. Běžně se kromě milimetrového papíru prodává i logaritmický papír s logaritmickou stupnicí pro vynášení logaritmických nebo exponenciálních závislostí. Historickou klasikou je logáro neboli logaritmické pravítko. Za mého studia na stavební průmyslovce (1967 až 1971) se běžně používalo pro přibližné výpočty např. v statice. Dodnes si je uchovávám jako nostalgickou vzpomínku na středoškolská studia. Dokonce se vyráběla specializovaná logára, např. pro elektrotechniky, pro stavaře, která měla v sobě integrované běžně používané vzorce z příslušného oboru. Kupříkladu v teorii informace se hodně používají logaritmy při základě 2. Pokud vás to zajímá, již kdysi jsem o tom napsal lehce zábavné povídání.
Vzpomínám si, že coby středoškoláci jsme museli do školy doslova tahat tlustou knihu Matematické tabulky. Značnou část knihy tvořily právě dekadické pětimístné logaritmy. Obvykle jsme je ale nenosili, totiž v té době frčelo nošení malých aktovek, ne jako dnes, když studenti nosí na zádech bágle. A když starý nevrlý učitel matematiky zavelel, abychom v nich něco vyhledali, to pak bylo najednou ve třídě křiku a nadávání. A pakže podle Františka Bakuleho nejúčinnější výchovné prostředky jsou láska a umění ...
V Brně 10. března 2024.