Ach ty algebraické úpravy
Dušan Polanský
Zcela nedávno jsem se vracel domů městskou linkou z Bohunické nemocnice, kde jsem byl na Oční klinice na vyšetření zraku, přesněji kukadel. Důvod byl prostý, přesněji prostý s ohledem na můj věk, ono totiž vše na světě má svůj časový kontext, třebaže současná fyzika nám tvrdí, že de facto podle našich představ čas, jak si jej běžně představujeme, vlastně málem ani není, že je kvantován podobně jako prostor. S tímto faktem měl nedávno problém i můj starší vnouček, jenž chodí do 3. třídy ZŠ. Onehda jsem mu navrhl výhodný obchod, že on mi zahraje na flétnu, a já že mu na oplátku vysvětlím smyčkovou teorii gravitace, podle které se čas na kvantové úrovni jaksi úplně vytrácí. Ovšem to radikálně odmítl, že přece dobře vidí, že ručičky na nástěnných hodinách stále čas ukazují, takže jaképak vytrácení, no a tím se poslech flétny nekonal.
Ale k očím. Když si zakryji pravé oko a dívám se levým, tak je tam veliká skvrna. Na umření to není, dokonce v mém věku ani na léčení, škoda peněz daňových poplatníků, ale jenže mi zjistili další problém, a to glaukom úzkého úhlu, odpomáhá se od toho tak, že se udělá dírka do duhovky, aby nedošlo k úplnému uzavření odtokových cest, a tím akutnímu zvýšení nitroočního tlaku, což vede k akutnímu glaukomovému záchvatu, viz internet. Ještě mi bylo sděleno, že budu muset být vyšetřen na okluzi sítnicové žíly, viz opět internet. To vše mi sdělila dcera, oční lékařka, a ještě jsem to od ní schytal, že až doteď jsem odmítal jakékoliv oční vyšetření. Brýle jsem si vždy totiž pořídil přes optiku, a těch je v Brně málem tolik co hospod. Navíc mě rozladilo, že jsem se den předtím odhodlal začít používat zcela nepoužívané brýle na čtení (mám ještě na dálku a na obrazovku PC), které jsem již cca 5 let měl v záloze a stály pěknou pálku, ale bohužel jsem musel zkonstatovat, že za tu dobu se mi zrak zhoršil tak (jsem těsně pod 6 dioptriemi), že budu muset mít nová skla, no a ty, aby nebyla moc tlustá, tak jsem si je dal udělat ztenčena, což také něco stojí. Takže jsem byl rozladěn, že dva tisíce kdysi v minulosti dané do skel na čtení zůstaly zcela nevyužity mojí blbostí.
No a v tom autobuse hromadné dopravy, který mě vezl z nemocnice domů, bylo i několik vysokoškoláků (v Bohunicích u Fakultní nemocnice má Masaryková univerzita veliký kampus). A hle zjistil jsem, že jsem nebyl rozladěn jenom já, vedle mě hořekoval student směrem ke kamarádovi, že když byl v červnu na jakési zkoušce (jaké, to jsem nepochytil), že mu zkoušející doporučil si procvičit přes prázdniny algebraické úpravy.
Algebraické úpravy mě docela zaujaly, jelikož matematika je mi přece jenom bližší než oční lékařství. A uvědomil jsem si, že radě zkoušejícího se nelze ani tak moc divit, jelikož pokud se vrátím do svého žákovského a studentského mládí, tak v mém případě se moc algebraickým úpravám ve výuce nedalo. Na základce elementární základy, na průmyslovce velice málo, jelikož náš stařičký vzteklý matematik byl hlavně posedlý logaritmickými výpočty a dost jej rozčilovali minisukně holek a dlouhé vlasy spolužáků, no a na vysoké se již předpokládá, že algebraické úpravy zvládáte. Popravdě nikdy jsem na ně veliký borec nebyl, a vlastně ani nejsem, nakonec proč bych měl být, přece nejsem matematik.
Ale i přes tuhle sebekritiku jsem se rozhodl, že dva příklady na algebraické úpravy si na stránky dám. První, že bude jednodušší, druhý těžší. Možná že zmíněný vysokoškolák narazil na algebraické úpravy při derivování nebo integrování. Nakonec jsem se rozhodl pro příklady, kde se pracuje s derivacemi a v rozumné míře právě s algebraickými úpravami. Popravdě matematiku bez algebraických úprav si člověk ani moc neumí představit, je to asi jako vaření bez vody.
Všechny vzorce, které používám při výpočtech coby slušný občan uvádím. První příklad je z titulu [1], kde je uveden coby příklad k samostatnému řešení. Druhý příklad jsem si před léty vybral z jakési sbírky příkladů k řešení, výsledek mi tehdy sedl (určitě ne napoprvé), takže výpočet by měl být také v pořádku. Postupy výpočtu uvádím do všech podrobností, což v tištěné literatuře není vždy běžné.
Takže nejprve vzorce, které budeme potřebovat, viz obr. č. 1; číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek. Větší pozornost doporučuji věnovat vzorci pro derivování složené funkce, jelikož naše funkce v druhém příkladu složená bude.
První příklad, viz obr. č. 2, je zajímavý ani ne tak složitostí výpočtu, popravdě je spíš triviální, ale je ukázkou toho, že často za docela složitě vypadající diferenciální rovnicí stojí docela jednoduchý vzorec, v našem příkladu je z fyzikální chemie. Takto uměle vzniklých diferenciálních rovnic najděte v každé učebnici fyziky několik, např. diferenciální rovnice pro gravitační či elektrický potenciál. Technické poznámky za příkladem jsem doplnil již jenom pro zajímavost, že totiž často vzorce, které známe ze školy, jsou speciální případy obecnějšího vzorce. Kupříkladu případ, kdy je n = 1, známe ze základní školy jako zákon Boyleův-Mariottův. Jenom dodejme, že hodnota konstanty závisí na množství plynu a jeho teplotě.
Teď příklad druhý, viz obrázky č. 3 a č. 4. Nejprve je uveden výpočet dílčích derivací, které vystupují ve vzorci pro výpočet derivace složené funkce.
Nakonec aplikujeme dílčí výsledky na vzorec pro výpočet derivace složené funkce. Popravdě naše funkce není až tak moc složená, v matematické či fyzikální praxi se objevují funkce o hodně více složitě složenější.
Teď přemýšlím, zda jsem vůbec šťastně vybral tyto dva příklady, tedy pokud jde o algebraické úpravy. Snad jo. Nakonec kdyby se vám nelíbily, v sbírkách příkladů je podobných příkladů habaděj. Zkuste si vybrat nějaký sympatický a spočíst si jej sami. Možná že tak učinil i vysokoškolák z autobusu č. 52, třebaže z jeho lamentace se mi zdálo, že spíš ne. Nakonec uvidím, jak budu zítra lamentovat já, totiž přesně zítra mě čekají ty dírky do duhovek. Nakonec i proto publikuji tento text dnes, člověk nikdy neví ...
Použitá literatura
[1] Mulholland H.: Calculus Made simple, W. H. ALLEN London A Howard & Wyndham Company, 1976.
V Brně 21. září 2021.