Archimedův zákon
Dušan Polanský
Archimedův zákon se bere ve fyzice na základní škole. Není to náhoda, jednak je to zákon, s nímž se často v životě potkáváme, jednak je ideální na procvičení základních fyzikálních pojmů, jako jsou objem, hustota látky či kapaliny nebo plynu, hmotnost, gravitační zrychlení a síla.
Jako vždy mě k napsání tohoto textu nasměřoval život. Dcera, oční lékařka, mě poprosila, zda bych jí trochu podrobněji nevysvětlil Archimedův zákon, jelikož jak známo, v oku vše plave. Zda jsem jí to vysvětlil dobře, to popravdě nevím, ale pro jistotu jsem jí ještě napsal jednoduchý tahák, viz obrázek č. 1; číslo obrázku se vám ukáže po najetí myší na obrázek. Tíhovou sílu působící na těleso ponořené do kapliny značíme Fg a sílu vztlakovou, která působí na těleso podle Archimedova zákona Fvz. Tímto záslušným činem měl být pro mne Archimédés (278 př. n. l. – 212 př. n. l.) pro tentokrát vyřízen.
Jenomže asociace se člověku vynořují a připomínají snad všude. Při psaní zmíněného taháku jsem si vzpomněl na slovenský film „Archimedov zákon“ z roku 1964, režii měl Andrej Lettrich a hlavní roli hrál Ivan Mistrík; podrobnosti o filmu viz internet. Zde uvedu jenom scénu, kterou si z filmu ještě pamatuji, třebaže film jsem naposled viděl cca před 40, možná i více roky. Hlavní hrdina, úředník Javorník, by měl umět plavat, nakonec měl zachránit ředitele podniku před utopením, jenomže on plavat neumí, a jelikož nechce přijít o gloriolu zachránce, přihlásí se do kurzu plavání. Urostlý postarší instruktor si ustrašené neplavce postaví do řady, zdůrazní jim význam teorie a zeptá se jich na znění Archimedova zákona. Jelikož odpověď z nich nedostane, sdělí jim své znění tohoto veledůležitého zákona pro praxi plavání: Těleso plave do té doby, dokud se neutopí. Ve filmu tahle jednoduchá pravda v kontextu příběhu úředníka Javorníka vyznívá hořce úsměvně, ale v životě její „vodní“ naplnění je vždy tragičtější než naplnění kariérně služební nebo soukromě osobní.
A jelikož krátce po napsání zmíněného taháku byly Vánoce a Silvestr, což je doba, kdy již tradičně něco napíšu, nakonec co chcete dělat kupříkladu večer na Silvestra, když někde nepaříte a jste doma. Přece se celý večer nebudete cpát chlebíčky a pít alkoholu více, než je zdrávo a u toho čumět na televizi! I proto jsem se rozhodl doplnit text důkazem Archimedova zákona a oživit si látku ze základní školy vyřešením alespoň dvou jednoduchých příkladů, které jsem ůmyslně vybral tak, aby k jejich vyřešení stačily znalosti na úrovni základní školy.
Na obrázku č. 2 (příklad se stavidlem si zatím nevšímejte) je odvození Archimedova zákona s použitím vzorečku pro hydrostatický tlak. Připomeňme si, že je to tlak, který vzniká v kapalině její tíhou. Jeho velikost nezávisí na množství a objemu kapaliny, ani na tvaru, který kapalina zaujímá, důležitá je jenom hloubka a hustota kapaliny! Pokud se díváte na v důkazu na pomyslnou krychličku kapaliny, musí být v rovnováze, jelikož uvažujeme kapalina v klidu. To je možné jedině tak, že tlaková síla na horní stěnu bude menší než tlaková síla na dolní stěnu o tolik, kolik krychlička váží. Pochopitelně hydrostatický tlak působí i na boční stěny pomyslné krychličky, ale tyto protisměrné tlaky se z hlediska výpočtu anulují. V technických výpočtech se obvykle ignoruje atmosferický tlak, v tomto i my neuděláme výjimku. Je si dobré uvědomit, že pokud přitiskneme rovný, pěkně vyhlazený dřevěný hranol na ideálně rovné dno bazénu, hranol na hladinu nevyplave, třebaže jeho hustota je menší než hustota vody. Proč? Protože zdola na něj nebude působit podle Archimedova zákona vztlaková síla a shora na něj bude působit síla vyvolaná hydrostatickým tlakem.
Důležitý je výsledný vzoreček pro vztlakovou sílu Fvz. V něm V je objem ponořené části tělesa do kapaliny. Hustoty často používaných pevných látek, kapalin a plynů najdeme i na intranetu. V soustavě SI má hustota rozměr kg.m-3. V starších fyzikálních tabulkách se obvykle uvádí v g/cm3. Pro méně zkušené uvádím, že ekvivalentem zápisu g/cm3 je g.cm-3.
Pro změnu si místo pomyslné krychličky z kapaliny představme krychličku z nějakého materiálu. V prvním případě ať hustota materiálu je menší než hustota kapaliny. Hydrostatický tlak na vrchní stěnu krychle je nulový, jelikož krychlička plave. Pokud chceme krychličku udržet pod vodou, musíme na její horní stěnu působit shora silou (např. tlakem ruky). Jaká je velikost této síly? Je dána rozdílem velikosti tíže tekutiny stejného objemu, jako je ponořená část tělesa a tíže tělesa. V druhém případě ať je hustota tělesa větší než hustota kapaliny. Pokud chceme, aby krychlička neklesla ke dnu, musíme působit směrem vzhůru na spodní stěnu silou, jejíž velikost je dána rozdílem tíže tělesa a tíže tekutiny stejného objemu, jaký zabírá ponořená část tělesa.
Teď se vrátíme k rovnoměrnému stavidlu (např. na rybníku) na obrázku č. 2. Na něm je hezky vidět změna velikosti hydrostatického tlaku s narůstající hloubkou vody. Pozorný čtenář jistě hned namítne, že stavidlo by mělo být u dna robustnější, než blízko hladiny, protože čím větší hloubka, tím je hydrostatický tlak větší. Určitě, ale na mělkém rybníku je realizačně jednodušší navrhnout rovnoměrné stavidlo, které je všude stejně široké. Navrženo musí být tak, aby vydrželo tlak vody až po horní hranu stavidla. To, že nahoře bude předimenzováno, nám stavidlo až tak nepředraží. U údolní přehrady by naše úvaha nevedla z hlediska vynaložených nákladů k ekonomicky optimálnímu řešení. Vůbec na stavidle je hezky vidět efekt tzv. hydrostatického paradoxu, tedy že tento tlak nezávisí na množství vody (např. v našem rybníku), ale pouze na hloubce a hustotě vody. Jednoduchým výpočtem s použitím integrálního počtu lze spočíst, že celková síla, která působí na boční stěnu stavidla o šířce a a výšce b je rovna 1/2.hustota vody.a.b2.
Jednotkou tlaku v soustavě SI je pascal (Pa). Je to tlak, který vyvolává síla 1 newtonu, rovnoměrně a spojitě rozložená a působící kolmo na plochu o obsahu 1 čtverečního metru; z toho plyne že, rozměr pascalu je N/m2. Pascal je pro technickou praxi poměrně malý, proto se v praxi můžeme setkat i s vedlejší jednotka tlaku v soustavě SI barem (bar). Převodní vztah mezi pascalem a barem je: 1 bar = 100 kPa. Hodnota doporučeného tlaku v pneumatikách osobních aut se obvykle pohybuje kolem 230 kPa, což je 2,3 baru. Velikost jednotky bar byla stanovena zaokrouhlením normálního tlaku atmosféry. Ten je definicí stanoven na přesnou hodnotu 101,325 kPa, no a právě zaokrouhlením této hodnoty na 100 kPa dostaneme velikost baru.
V starších odborných (hlavně strojírenských) textech se ještě můžeme setkat s technickou atmosférou (at), která se rovná tlaku 1 kilopondu (kp) na 1 čtverečný centimetr (kp/cm2). Kilopond je definován jako tíha tělesa o hmotnosti 1 kilogram v místě s tíhovým (gravitačním) zrychlením 9,80665 m/s2. Z této definice 1 kilopond je definotoricky roven 9,80665 N. Proč? Protože síla 1 kp = m.a = 1kg. 9,80665 m/s2 = 9,80665 N. Z tohoto údaje se lehce odvodí i převodní vztah mezi technickou atmosférou a pascalem: 1 at = 9,80665×104 Pa. Jak? Jednoduše! 1 at je definovaná jako tlak 1 kp na 1 cm2. Převodní vztah 1 kp na N již známe, teď ještě musíme převést 1 cm2 na m2. 1 m2 má 104 cm2, z čehož plyne že 1 cm2 = 10-4 m2. Z toho již lehce dostaneme hledaný převod: 1 at = 9,80665×104 Pa; často se uvádí i přibližná hodnota 105 Pa.
Starší ročníky si z předpovědí počasí v minulosti vzpomenou, že v meteorologii byl hodně používanou jednotkou torr (Torr). Pro převod platí: 1 torr ≈ 133,322 Pa. Logiku převodu mezi různými jednotkami tlaku lze najít na internetu, např. ve Wikipedii. K dispozici jsou i různé převodné kalkulačky. V dalším textu budeme používat soustavu SI.
Vše chce ale počtářskou praxi, a tu získáme jedině řešením příkladů. Vybral jsem dva z neřešených příkladů ze dvou sbírek příkladů. Svá řešení jsem zkontroloval podle uvedených výsledků.
U příkladu na obrázku č. 3 jsem zpřesnil celé zadání, jelikož se mi zdálo ne zcela jasné, navíc i proto, že je uvedeno v slovenštině. Ve výsledku uvedeném v knize je nesprávně uvedeno ještě násobení níže uvedeného výsledku gravitačním zrychlením g. Jenomže pokud bychom náš výsledek vynásobili g, neseděl by nám výsledek rozměrové. Na příkladu se mi libí, že je požadováno pouze obecné řešení, což začátečníkům ne vždy sedí, spíš mají snahu dosazovat konkrétní hodnoty již do dílčích výpočtů, ne až do výsledného vzorce.
U příkladu na obrázku č. 4 jsem uvedl i vlastní postup výpočtu s konkrétními hodnotami, ačkoliv jej uvádět není zvykem. Důvod je ten, že v zadání jsou uvedeny hustoty v g.cm-3 a ve výpočtu se pracuje s jednotkami podle soustavy SI, tedy v případě hustoty s kg.m-3. Při převodu hustoty lze postupovat i přímočařeji než jsem postupoval, stačí si uvědomit, že 1g/cm3 = 103kg/m3.
Ačkoliv vzorce pro hydrostatický tlak a Archimedův zákon nejsou nijak složité, jejich význam v spojení s jinými fyzikálními zákony je veliký, stačí zmínit stavbu přehrad a lodí, u lodí pochopitelně i jejich plavbu, nemluvě o našem plavání ve vodě. Nakonec nějak podobně to chodí i v našich životech, respektování prostých, životem minulých generací mnohokráte prověřených pravd je daleko důležitější než uvěřit různým moderním, halasně vykřikovaným heslům různých intelektuálů a rádoby vědců. Myslím si, že instruktor plavání z výše zmíněného filmu měl hlubokou pravdu. Navíc bychom si měli uvědomit, že pokud plaveme na hladině úspěchu ne zrovna férovým způsobem, tak se nemůžeme divit, že když se začneme potápět, nejenže nám nikdo pomocnou ruku nepodá, ale naopak nám hlavu na just pod hladinou přidrží. A má pravdu. A to je také po svátcích vše.
V Brně 2. ledna 2018.