Dělitelnost 11
Dušan Polanský
Ne až tak moc zbytečný prolog
Hned úvodem předesílám, že matematika je těžká, podobně kupříkladu jako fyzika, chemie. Ale také podobně těžká, jak těžké se je naučit bez pobytu v příslušné cizině dobře cizí jazyk nebo navrhnout elegantní ženské šaty a pečlivě je užít či navrhnout hezkou zahradu a ji udržovat stále krásnou; další četné příklady si jistě čtenář domyslí sám.
Učitelé často tuhle skutečnost o složitosti matematiky před žáky či studenty bagatelizují, a především apelují na jejich píli, pracovitost, že když se budou snažit, že látku zvládnou. Já jenom doplním, že možná. I když učitel matematiky nejsem, až tak moc na úsilí a pracovitost v určitých předmětech nevěřím, i proto zcela odpovědně opakovaně říkám, že matematika je těžká. Myslím si, že žákům a studentům se lhát nemá, třebaže někdy účel světí prostředky, jednoduše mají předem vědět na čem jsou. Nakonec i sám život je pro mnoho lidí velice těžký, a vykládejte jim, že se stačí snažit a bude určitě líp ...
Také bych lhal, že své občasná povídání o matematice píši z jakési přehnané lásky k matematice. Kdepak, píši je hlavně proto, že i když je těžká, že občas se dá něco z ní pochopit i bez talentu, který také v tomto směru nemám. Je to podobné jako v hudbě, bez talentu se nenaučíte dobře, a hlavně fofrem, zahrát na houslích Let čmeláka od Korsakova. Či už tak nebo onak, opravdové výšiny matematiky jsou jenom pro vyvolené Naším Pánem, což ale neznamená, že se po malém fragmentu zajímavé krajiny matematiky nemůžeme pokochat i my obyčejní smrtelníci. Také nikdo z nás neumí navrhnout krásný a spolehlivý automobil, a podívejte se kolik řidičů v takových auťácích jezdí, a jak jsou u toho šťastní! Abych alespoň nějak dokumentoval možnost radosti i z matematiky, proto jsem de rozhodl napsat lehké povídání o důkazu dělitelnosti 11. Většina z nás by na něj sama nepřišla, ale když se vysvětlí, je docela pochopitelný a možná nejen zajímavý, ale i krásný.
Pointa
O dělitelnosti jsem již jedno povídání napsal, odkaz na něj je v sekci Články. Týkalo se dělitelnosti čísly 2 až 10, tedy s malou výjimkou (dělitelnost 7) se jedná o látku základní školy. Pokud si již o dělitelnosti toho moc ze školy nepamatujete, je dobré si je předem přečíst.
Důkaz dělitelnosti 11 je středně složitý, ale pokud jej prokouknete, pochopíte že je především vtipný a krásný. Princip důkazu bude stejný jako u většiny důkazů dělitelnosti 2 až 10. Půjde o vykuchání z čísla, jehož dělitelnost nějakým číslem zjišťujeme, budeme jej značit n, jisté časti, která je tutově daným číslem dělitelná, a pak nám bude stačit zjistit dělitelnost zbytku, ten si označíme m, který vznikne odečtením vykuchané části od daného čísla. My to máme usnadněno tím, že již předem budeme vědět, jak část, která tutově dělitelná 11 je, vypadá. Pak nám bude stačit odečíst od čísla, jehož dělitelnost chceme zjistit, tuhle část a dostaneme zbytek.
Na obrázku č. 1 (číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek) je přehled základních pojmů s nimiž budeme pracovat. Nejdůležitější pro nás bude skutečnost, že budeme pracovat v desítkově soustavě, tedy k zápisu čísla budeme používat cifry 0, 1 až 9. Ale jsou i jiné soustavy, kupříkladu poselství mimozemšťanům pracuje s binárním kódem, tedy veškerá čísla jsou ve tvaru, který využívá pouze cifry 1 a 0. Kupříkladu dvojkový zápis čísla 268 vypadá takto: 100001100. Tento zdánlivě formální zápis ve skutečnosti obnáší tohle: 268 = 0.20 + 0.21 + 1.22 + 1.23 +0.24 + 0.25 + 0.26 + 0.27 + 1.28.
Každé přirozené číslo lze zapsat v desítkové soustavě jako součet dílčích sčítanců s využitím mocnin čísla 10, kupříkladu číslo 2865 se v desítkové soustavě napíše takto: 2865 = 2. 103 + 8.102 + 6.101 + 5.100. Protože 101 je 10, 100 je 1, obvyklejší zápis je tento: 2. 103 + 8.102 + 6.10 + 5. Dále budeme pracovat s ciferným součtem čísla, který budeme značit s, kupříkladu pro číslo 781 je s = 7 + 8 + 1 = 16. Pro nás starší doplňme, že kdysi se cifrám říkalo také číslice. Dnes se v česky psané matematické literatuře používá výhradně termín cifra. Kupříkladu číslo 1570 má čtyři cifry: 1, 5, 7 a 0, a to by na úvod bohatě stačilo.
A teď znění věty, kterou budeme v dalším dokazovat, je uvedena v rámečku na obrázku č. 2. Vypadá docela formálně, tak nějak děsivě matematicky. Zatím nám ale nejde o její důkaz, ale o to, jak větu v praxi interpretovat, tedy používat. To osvětlují dva příklady uvedené za větou. Vidíme že na pozicích, neboli desítkových řádech, 0, 2, 4, 6 atd. jsou cifry s kladným znaménkem, na pozicích 1, 3, 5, 7 se záporným znaménkem. Takže stačí udělat algebraický součet všech cifer s příslušným znaménkem, a pokud tento součet je dělitelný 11 nebo je nulový, i číslo je dělitelné 11.
Vlastní důkaz je na obrázku č. 3. Rozvedl jsem jej do nejmenších podrobností, takže věřím, že vám nebude dělat potíže.
Otázkou je proč matematici tolik pozornosti věnují dělitelnosti přirozených čísel? Důvodů je více; krátce alespoň o dvou. První je v tom, že matematici jsou z dobrých důvodů posedlí prvočísly. No a pokud je číslo dělitelné nějakým číslem rozdílným od 1 nebo od čísla samotného, tak nemůže být prvočíslem. Pochopitelně u velikých čísel není až tak jednoduché zjistit, zda číslo je nebo není prvočíslem, ale někdy znalost pravidla pro dělitelnost může alespoň částečně pomoci. Příklad takové číslo 7901, je nebo není prvočíslem? Vidíme, že určitě není dělitelné 2 až 10, ani 11, takže adeptem na prvočíslo je. Pochopitelně může být dělitelné nějakým vyšším číslem, ale určité podezření na prvočíslo zde je. Jinak tohle číslo prvočíslem je.
Druhý důvod je, že dělitelnosti nízkými čísly se dobře hodí na kontrolu správnosti některých taxativně stanovených čísel. Takto je kupříkladu chráněn proti jednotlivé chybě kód ISBN knižních publikací či ISSN periodik (časopisů), dále identifikační čísla organizací, tzv. IČO, bankovní účty, data při jejich přenosu v počítačových sítích a v neposlední řadě i kód rodných čísel, které se kontroluje právě na dělitelnost 11. Na obrázku č. 4 je ukázka kontroly mnou vymyšleného rodného čísla dívky narozené 12. 7. 1998. Nad rodné číslo jsem napsal desítkové řády jednotlivých cifer, abychom se vyhnuly pracnému výpočtu pomocí umocňování -1. Už totiž víme, že na pozicích, desítkových řádech, 0, 2, 4, 6 atd. jsou cifry s kladným znaménkem, na pozicích 1, 3, 5, 7 se záporným znaménkem. Teď si představme, že u koncové 8 se pomýlíte a místo ní napíšeme 7. Tuhle chybu kontrolní program spolehlivě odhalí a nahlásí nám, že rodné číslo není v pořádku. Pochopitelně horší by to dopadlo, kdybychom se zmýlili na dvou pozicích, kupříkladu koncové číslo bychom napsali jako 0977. Rodné číslo by nám vyšlo dělitelné 11, tedy je formálně v pořádku, ačkoliv v pořádku není. Krátce řečeno, tahle kontrola spolehlivě funguje v případě chyby v jedné jediné cifře.
Snad vás dělitelnost 11 alespoň trochu zaujala, a že i když je matematika hodně těžká, pokud se věci podají v rozumné a pochopitelné podobě, což matematici ne vždy až tak rádi dělají, že se to dá s matematikou občas i vydržet.
V Brně 15. ledna 2023.