Kolik jenom těch ryb může být?
Dušan Polanský
Prolog
Meditovali jsme nedávno spolu s mladším vnoučkem při pohledu na hladinu Brněnské přehrady o tom, kolik ryb v ní může být. Jelikož vnouček - chodí do druhé a zápasí ve škole s počty cca do dvacítky, možná teď, když píšu tento text, už o něco s větším číslem - ví kolem ryb a rybaření toho asi o tisíc procent více než já, troufl si bez zaváhání na odhad počtu ryb. Lítaly horem dolem miliony, třebaže milion si ani neumí představit. A tehdy mě trklo, že v nějakých skriptech jsem kdysi dávno viděl příklad, jak by se čistě teoreticky dal počet ryb odhadnout pomocí teorie pravděpodobnosti. Zapátral jsem ve sklepě a skripta a příklad objevil, viz použitá literatura.
Problém byl jediný, a to čistě technický. Výpočet, jak za chvíli uvidíme, vede ke dvěma nerovnostem s kombinačními čísly, a ty se moc na škole neberou, třebaže někdy to není až tak hrozné. Postup řešení nerovností ve skriptu není uveden, pouze výsledek. Tak jsem si řekl, že toho využiji a ukážu, jak na podobné nerovnosti vyzrát. Znáte to, učitelé matematiky často tvrdí, že žáci či studenti neumí úpravu algebraických výrazů, a proto mají s matematikou problémy. Popravdě něco na tom je. Pokud jde o potřebné znalosti, de facto vše vysvětlím, takže pokud máte trochu abstraktní myšlení vystačíte se základkou. Z teorie pravděpodobnosti toho moc potřebovat nebudeme, vystačíme si s klasickou definicí pravděpodobnosti. Takže, jak říkají rybáři: Petrův zdar!
Něco málo o pravděpodobnosti
Míru možného uskutečnění určitého jevu nazýváme pravděpodobnost. Pravděpodobnost je pak dána zlomkem, podílem počtu příznivých výsledků k hledanému jevu a počtu všech možných výsledků. Například při poctivém házení „necinknutou“ hrací kostkou je počet všech možných výsledků roven 6, může padnout 1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5 nebo 6. Pravděpodobnost pádu šestky je pak 1/6, jelikož pouze jeden výsledek je příznivý pádu 6.
Jak to dopadne, když budeme chtít vědět, jaká je pravděpodobnost jevu, že padne 1 nebo 5? Víme, že 1 a 5 nemohou padnout najednou, to by byla divná kostka, tyhle jevy se vylučují, i proto takovým jevům, které nemohou nastat současně, říkáme navzájem se vylučující jevy. Když při hodu padne 1, již nemůže padnout 5 a opačně. Věta o sčítání pravděpodobností nám říká, že pravděpodobnost vzájemně se vylučujících jevů je rovna součtu pravděpodobnosti těchto jevů. Pravděpodobnost pádu 1 je 1/6, stejnou pravděpodobnost má pád 5, tedy opět 1/6. Výsledná pravděpodobnost, podle zmíněné věty, pak bude 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. Ještě jiný výpočet. Všech možných výsledků je 6, příznivé našemu jevu jsou ale pouze dva výsledky: pád 1 nebo 5. Podle definice pravděpodobnosti je výsledek dán podílem příznivých případů, ty jsou 2, k celkovému počtu možných výsledků, těch je 6. A opět jsme u stejné pravděpodobnosti: 2/6 = 1/3.
Něco málo o počítání s kombinačními čísly
Při řešení odhadu ryb budeme muset pracovat s kombinačními čísly. Na obrázku č. 1 (číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek) je v bodě č. 1 uvedena definice faktoriálu, v bodě č. 2 definice kombinačního čísla. V bodě č. 3 je vyřešen coby vzor jednoduchý příklad, a v bodě č. 4 přehled vzorečků, včetně toho již spočteného, z kterých některé se nám při výpočtu zmíněných nerovností budou hodit. Ověřovat je nemusíte, to jsem udělal já, stačí uvěřit. Ale přesto, alespoň jeden výsledek si vlastním výpočtem ověřte.
Binomické rozdělení pravděpodobnosti
K finálnímu výpočtu budeme potřebovat jedno zdánlivě docela složité diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, tzv. hypergeometrické rozdělení. Jenomže až si k němu něco povíme, začneme sympatičtějším rozdělením, tzv. binomickým rozdělením. Vysvětlíme si je názorně.
Představme si, že jsme z určitého počtu vyrobených výrobků, jedná se o tzv. základní soubor, vybrali náhodně 10 výrobků. Přitom víme, že pravděpodobnost vytažení vadného výrobku (vulgárně tzv. nepodarek) je p = 0,1, což si můžeme představit přibližně tak, že průměrně mezi deseti výrobky je jeden vadný. To ale vůbec neznamená, že mezi konkrétně 10 vytaženými výrobky musí být nutně jeden vadný, nemusí, ale klidně, při naší smůle, tam mohou být dokonce vadné dva, nebo naopak při štěstí žádný. Teď si z těch našich 10 vytažených výrobků vytáhneme náhodně 2, a ptáme se, jakáže je teoretická pravděpodobnost, že mezi nimi bude jeden výrobek vadný. Dodejme, že pokud je pravděpodobnost vytažení vadného výrobku 0,1, tak pravděpodobnost vytažení dobrého výrobku je q = 1 – p = 0,9. Je to proto, že pravděpodobnost vytažení dobrého nebo vadného výrobku je vždy 1. Každý výrobek prostě nějaký je.
Na obrázku č. 2 pod bodem č. 1 je matematický zápis binomického rozdělení, a hned pod ním je vyřešen náš příklad s výrobky. Jedno důležité upozornění. Při praktickém tažení zkušebního vzorku 10 výrobků, poté co bych vytáhl první, poznačím si, jaký je, zda vadný nebo dobrý, vrátím jej opět zpět. Důvod je prostý, tím bude pravděpodobnost p = 0,1 stále stejná. Kdybych jej nevrátil pravděpodobnost p by se měnila. Pokud výrobky do základního souboru vracíme, mluvíme o výběru s opakováním. Vidíme, že binomické rozdělení má dva parametry počet výrobků n a konstantní pravděpodobnost p tažení vadného výrobku, proto se občas také značí Bi(n, p).
Ovšem pokud základní soubor je veliký, lze si představit, že i kdybych výrobky zpět nevracel, p bude alespoň přibližně konstantní, takže s jedním přivřeným okem mohu binomické rozdělení použít, což se občas v praxi i děje. Ovšem u malého počtu výrobků to nefunguje. Představme si, že všech výrobků je jenom 20. Víme, že pravděpodobnost vadného výrobku je 0,1, tedy celkem by tam mohly být 2 vadné výrobky. Táhnu první výrobek. Pravděpodobnost, že bude vadný je 2/20 = 0,100. Pravděpodobnost, že bude dobrý je 18/20 = 0,9. Nechť je dobrý, dám jej bokem a táhnu druhý výrobek. Pravděpodobnost, že bude vadný je teď 2/19 = 0,105. Pravděpodobnost, že bude dobrý 17/19 = 0,895. Vidíme, že pravděpodobnost vadného výrobku se při nevracení vytaženého výrobku do základního souboru nepatrně zvýšila.
Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti
Situace se změní, pokud po vytažení výrobek nevrátíme do základního souboru a další výrobek vytáhneme z již neúplného základního souboru. O takovém výběru říkáme, že je to výběr bez opakování. Pro takové případy se hodí hypergeometrické rozdělení. To má tři parametry N (počet vyrobených výrobků), M (počet vadných výrobků v N) a n (počet vytažených výrobků). Na obrázku č. 2 pod bodem č. 2 je matematická definice, jinak vzorec lze poměrně snadno odvodit. Pro názornost je uveden pod vzorcem i jednoduchý příklad: Máme 10 výrobků, z toho 2 jsou vadné. Náhodně z 10 výrobků vytáhneme 2 výrobky, které nevracíme zpět. Ptáme se, jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude 1 výrobek vadný. Vidíme, že docela veliká. Formálně bychom hypergeometrické rozdělení mohli označit takto: Hg(N, M, n).
A konečně k odhadu počtu ryb
Požaduje se odhadnout počet ryb v Brněnské přehradě. V původním zadání ve skriptu je v jezeře, leč pro laika stojatá voda jako stojatá voda. Budeme postupovat tak rafinovaně, že prakticky je to málem nerealizovatelné, ale znáte to, matematicky to často jde čistě teoreticky. Nakonec i proto matematici příliš nemilují reálnou hmatatelnou praxi.
Odhad provedeme takto. Z přehrady vylovíme n1 ryb. Označíme je a opět pustíme do vody. Po nějakém čase, dostatečně dlouhém na to, aby se označené ryby promísily s neoznačenými, se provede druhý výlov. Počet ryb chycených při druhém výlovu je n2. Ovšem celkový počet ryb, tedy n, se nesmí změnit, tedy rybáři dostanou na tuto dobu zákaz lovu. Náhodnou veličinou X bude počet označených ryb při druhém výlovu. Neznámý počet ryb v přehradě označíme U. Je-li v jezeře n ryb, tak U = n. Pravděpodobnost, že je chyceno právě k (X = k) označených ryb je pak dán výrazem z obrázku č. 3, bod č. 1.
Hledaný počet ryb v přehradě (n) určíme z podmínky, aby pravděpodobnost X = k byla pro dané n maximální. Maximum této pravděpodobnosti určíme řešením nerovnic na obrázku č. 3 v bodě č. 2.
No a ono relativně pracné řešení obou nerovnic s využitím vrorečků z obrázku č. 1 je na dalších dvou obrázcích. Na posledním obrázku dolu je uveden v rámečku i finální výsledek. Popravdě každý rybář by nás s tímto výsledkem poslal k šípku, nebo možná do studené vody. Ale co, nám jde o radost z počítání.
A malá rekapitulace
Určitě to znáte, učitelé docela často používají tento slogan: Tohle byste měli již dávno znát! Nic takového jsem od vás nechtěl. Zrekapitulujme si tedy, co jsme se naučili. Ukázali jsme si, jak se řeší rovnosti a nerovnosti s binomickými čísly. Vysvětlili jsme si klasickou definici pravděpodobnosti. Vysvětlili jsme si dvě důležitá diskrétní rozdělení, a to binomické a hypergeometrické. A nakonec jsme si ukázali aplikaci hypergeometrického rozdělení na určení počtu ryb v stojaté vodě. A nezapomeňte se také podívat na internet, určitě tam vygúglíte i další povídání o hypergeometrickém rozdělení a určitě i nějaké zajímavé příklady. Není nad rozšíření si obzoru vlastním úsilím.
Použitá literatura:
Kropáč, J.: Úvod do teorie pravděpodobnosti a statistiky, Vojenská akademie Brno, 1990.
V Brně 17. října 2022.