Od selky k matematické indukci
Dušan Polanský
Někdy matematický problém není až tak těžký, jako je spíš nepříjemný na délku výpočtu. Ale o té délce to neplatí jenom pro matematiku, to stejné platí i pro hodně lidských činností, kupříkladu zahradník musí trpělivě okopávat veliký záhon nebo kuchař vařit pracné jídlo. V tomto textu budeme řešit nejprve relativně jednoduché příklady, které postupně zobecníme a pokusíme se matematickou indukcí dokázat, že naše zobecnění ukrývá v sobě i jednu docela zajímavou a obecnou nerovnost. A protože jsme na půdě matematiky, finální výpočet si i částečně dokážeme. A právě onen důkaz bude kapánek delší. Začneme dvěma jednoduchými příklady.
První příklad. Selka šla na trh prodávat vajíčka. Měla je ve dvou koších po 30 kusech. V prvním koši měla menší a v druhém větší vajíčka. Po cestě na trh uvažovala, že menší vajíčka bude prodávat 3 kusy za 10 Kč a ty větší 2 kusy za 10 Kč. Jenomže když dorazila na trh vše si najednou rozmyslela a rozhodla se, že vajíčka promíchá a že bude prodávat 5 kusů za 20 Kč. Vydělala nebo prodělala?
Druhý příklad bude dost podobný. Selka bude tentokráte prodávat jablíčka a naším úkolem bude zjistit počet jablíček, které selka přinesla na trh. Opět měla dva koše, ale tentokráte jablíček, v obou koších byl stejný počet jablíček. V prvním koši byla větší a v druhém menší jablíčka. Původně chtěla prodávat větší jablíčka 2 kusy po 8 Kč a menší 3 kusy rovněž za 8 Kč. Jenomže poté, co dorazila trh vše si opět rozmyslela, a rozhodla se, že jablíčka promíchá a že bude prodávat 5 kusů za 16 Kč. Když vše prodala, zjistila prodělala 8 Kč. Kolik bylo jablíček?
Řešení obou příkladů vidíte na obrázku č.1, číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek. Tyhle dva příklady určitě zvládne spočíst většina žáků deváté třídy.
Teď se ale od konkrétních čísel odpoutáme a pokusíme se první příklad zobecnit, tedy nebudeme uvažovat konkrétní čísla, ale obecné proměnné. Poté, co příklad vyřešíme, ověříme si užitečnost našeho prvního zobecnění na dvou předchozích příkladech tím, že místo obecných proměnných dosadíme konkrétní hodnoty z prvních dvou příkladů. Výsledky by měly sedět.
Selka šla na trh prodávat něco. Měla toho dva koše po N kusech. V prvním koši měla to něco menší a v druhém to něco větší. Po cestě na trh uvažovala, že menší produkty bude prodávat p1 kusů za a Kč a ty větší p2 kusů rovněž za a Kč. Jenomže když dorazila na trh vše si rozmyslela, a rozhodla se, že vše promíchá a že bude prodávat p1+ p2 kusů za 2a Kč. Vydělá nebo prodělá? Jaká podmínka se musí splnit, aby neprodělala ani při prvním, ani při druhém způsobu prodeje.
Řešení příkladu č. 3 je na obrázku č. 2 v bodě č.1. Vidíme, že podmínkou stejného zisku při prvním i druhém způsobu prodeje je rovnost p1 = p2. V bodech č. 2 a č. 3 vidíme využití našeho obecného řešení (zatím pro dva koše) pro řešení příkladu č. 1 a č. 2. Zdá se, že zatím vše funguje, jak má.
Co se stane, když náš postup se pokusíme ještě více zobecnit? K čemu dospějeme?
Nechť košů je n a v každém máme N produktů, přičemž v každém koši jsou produkty, které mají určitou speciální vlastnost stejnou, např. velikost, kvalitu materiálu. Právě touhle vlastností se produkty v každém koši liší od těch ostatních. Rozhodli jsem se při prvním způsobu prodeje prodávat produkt p1 z prvního koše za a Kč, p2 produkt z druhého koše za a Kč atd., až pn produkt z n-tého za a Kč. Při druhém způsobu prodeje p1 + p2 + … + pn produktů za na Kč. Který způsob prodeje je výhodnější a jaká je podmínka, abychom neprodělali ani při prvním, ani při druhém způsobu prodeje.
Obecný výpočet zisku při prvním i druhém způsobu prodeje vidíme v horní polovině obrázku č. 3. Již v předchozích příkladech jsme si všimli, že první způsob je obvykle výhodnější, pouze v případě p1 = p2 druhý způsob prodeje byl stejně efektivní jako první. To nás vede k domněnce vyjádřené nerovností a na obrázku označené jako (a). Po jednoduché úpravě lze tuto nerovnost zapsat způsobem, který je ohraničen červeným orámováním. Určitě vám neušlo, že vlevo máme aritmetický průměr (AP) a na pravé straně tzv. harmonický průměr (HP). Nerovnost nám říká, že AP je větší nebo roven HP. A když se chceme pochválit, můžeme říct, že tuhle nerovnost jsme na základě našich předchozích příkladů tak trochu vytušili. Další text na obrázku si zatím nevšímejte.
Jenomže v matematice mezi tušit a dokázat je někdy dost veliký rozdíl. My si tušené za chvíli dokážeme matematickou indukcí. Než se do důkazu dáme, je si dobré uvědomit, že takto nějak dochází k objevům v matematice. Řeší se nějaký konkrétní problém, ten se pak zobecní a ze zobecněného se vytuší, že by zde mohla platit nějaká obecná zákonitost. A aby byla jistota, že to opravdu platí, musí se tušení dokázat, což teď také uděláme.
Důkaz matematickou indukcí bude trochu delší, ale to jsem již slíbil v úvodu povídání, ale slibuji, že se na něm i něčemu novému přiučíme. Než se na důkaz vrhneme, připomeňme si princip důkazu matematickou indukcí. Dané tvrzení v přirozených číslech se dokazuje ve dvou krocích. První krok spočívá obvykle v prostém dosazení n = 1 a obvykle v jednoduchém ověření, že dokazované tvrzení pro tento případ platí. V druhém, indukčním, kroku, je snaha dokázat, že pokud dokazované tvrzení platí pro n = k, pak platí i pro n = k + 1. Z těchto dvou kroků implikujeme, že naše tvrzení platí pro všechna přirozená čísla, potažmo pro všechna přirozená čísla některým přirozeným číslem počítaje, první krok totiž nemusí vždy být n =1. Pokud dokazované tvrzení (v našem příkladu výše zmíněna nerovnost) označíme P(n), kde n je přirozené číslo, můžeme kratší verzi matematické indukce popsat i takto: jestliže P(1) je pravdivé a pokud P(k) implikuje P(k+1) pro všechna přirozená čísla, pak P(n) je pravdivé pro všechna přirozená čísla.
Je pravda, že obvykle matematický důkaz začíná tím, že se dokazované tvrzení dokáže pro n = 1, jenomže pro naše příklady n = 1 nemá logiku (v případě jednoho koše není co řešit), proto náš první krok bude, že platnost nerovnosti dokážeme pro n = 2, tedy dva koše, to je omezení dáno řešeným problémem. Důkaz prvního kroku pro n = 2 je v dolní polovině předchozího obrázku, tedy č. 3. Dokážeme, že AP je obvykle větší než HP tím, že spočteme rozdíl AP – HP. Pokud nám rozdíl vyjde větší nebo rovný nule máme důkaz pro n = 2 splněn. Vidíme, že rovnost platí pouze pro p1 = p2, v tomto případě totiž rozdíl zlomků je nulový, což znamená, že zlomky, tedy AP a HP, se rovnají.
Důkaz druhého, indukčního, kroku je o něco složitější, viz obrázek č. 4. Teď ovšem budeme postupovat trochu jinak než v případě n = 2. Máme dokázat, že pokud platí tvrzení (a) na obrázku č. 3, tak platí i tvrzení napsané na obrázku č. 4 pod textem v rámečku. Půjdeme na to ale malou fintou, dokážeme, že výraz na pravé straně tohoto tvrzení je větší nebo roven vztahu (n +1)2/(p1 + p2 + ... + pn + pn+1), což je vlastně výraz obdobný pravé straně tvrzení (a) na obrázku č. 3. Pokud se nám to povede, máme vyhráno. Bohužel při počítání zmíněného rozdílu, narazíme na dost složitý výraz, viz konec první poloviny obrázku č. 4. Abychom tomuto výrazu dali elegantnější podobu použijeme fintu redukce složitého výrazu na jednodušší. Jak jsem tuhle redukci provedl, vidíte v textu ohraničeném čárkovanými čárami. Pokud byste s tím měli problém, podívejte se do dodatku, v němž je vysvětleno, jak lze formalizovat výpočet druhé mocniny mnohočlenu, takové malé opáčko z algebry. Po zjednodušení čitatele do podoby druhé mocniny mnohočlenu již nemáme s dalším výpočtem problém. Nerovnost by platila podobně, jako v případě n = 2, pokud p1 = p2 = ... = pn+1. Tuhle část důkazu jsem vypustil, neboli jsem ji takticky nechal na vás.
Vidíme, že jsme se od selky prodávající vajíčka a jablíčka dostali postupně až k důkazu zajímavého vztahu mezi aritmetickým a harmonickým průměrem matematickou indukcí. A takhle nějak a podobně by se matematika měla vykládat, což ovšem je podstatně těžší, než strašit povinnou maturitou z matematiky. A to je vše.
V Brně 21. května 2020.
Dodatek. Na obrázku č. 5 je ukázáno, jak lze zapsat druhou mocninu mnohočlenu, aniž bychom museli mnohočleny navzájem pracně násobit.
