Kroneckerův symbol delta
Dušan Polanský
Možná se mýlím, ale mám pocit, že tzv. populárně vědecká literatura v oblasti matematiky a fyziky se více a více odtrhává od průměrně vzdělaného čtenáře. Často se autor knihy až příliš soustřeďuje na popisy života vědců, kteří mají co do činění s příslušnými objevy či důkazy, a historických souvislostí. Obvykle se povídání o zajímavém životě významné osobnosti příjemně čte, člověk si hlavu nenamáhá, ale přiznám se, že tyhle informace mě nikdy moc nezajímaly. Důvod je prostý, většinou mě téměř ničím neobohatí. Kupříkladu nevím, proč by mě mělo zajímat, jak žil a jaký proutník byl Erwin Schrödinger (1887–1961). Raději bych uvítal bez zbytečné omáčky názorný výklad výklad příslušného matematického aparátu, vysvětlení příslušných partií fyziky a pak odvození jeho slavné rovnice. V další části by mě potěšilo vysvětlení důsledků plynoucích z jeho rovnice. Ve většině populárně vědeckých knih se autoři vymlouvají, že matematický aparát je složitý, že proto nemohou teorii v knize vyložit. Jenomže je všeobecně známo, že ten, kdo látce do hloubky rozumí, vysvětlí látku i babičce ze zapadlé vesničky. Jenomže profesionální vědci si rádi nasazují aureolu geniální výjimečnosti a neradi své znalosti předávají v srozumitelné podobě nám obyčejným smrtelníkům, k nímž nebyl Náš Pán až tak velkorysý.
Jenom tak pro procvičení jsem si načmáral coby matematický laik možný způsob, jak se nějakou rozumnou cestou dopracovat k funkci nazývané Kroneckerovo delta, někdy také Kroneckerův symbol. Funkce je pojmenovaná po německém matematikovi Leopoldu Kroneckerovi (1823–1891). Nejedná se o žádnou složitou matematickou funkci, třebaže je to funkce o dvou proměnných. Slouží především k zjednodušení zápisu sumačních vzorců. Obvykle se zavede definicí tam, kde se hodí k zápisu nějakého sumačního vzorce. My půjdeme na to trochu jinak. Momentálně ji k ničemu nepotřebujeme, ale přesto se budeme snažit intuitivně dojít na to, jak by měla být taková funkce definována. Většinu toho, co budeme potřebovat si předem vysvětlíme. Budeme předpokládat pouze elementární znalost vektorového počtu, přesněji znalost pojmů: vektor, jednotkový vektor a skalární součin. Budeme se přitom pohybovat v třírozměrném euklidovském prostoru. I tyhle pojmy by bylo možné zde vysvětlit, ale tahle látka se učí v prvním ročníku na střední škole, takže věřme, že požadavky na předběžné znalosti čtenáře nejsou až tak veliké. Většina výkladu je vidět na čtyřech obrázcích; číslo obrázku se vám zobrazí po najetí kurzoru myši na obrázek.
Takže začneme. Paralelně s textem se budeme dívat na obrázek č.1. Tam je vše, co budeme potřebovat znát o maticích. Matice je něco, co má řádky a sloupce. Tam, kde se řádky a sloupce protínají, leží prvky matice. V našem výkladu prvky budou vždy celá čísla. Obecně prvky mohou být docela složité výrazy. Nejtěžší operací je součin matic. Abychom mohli dvě matice vynásobit, musí mít kromě stejných typů prvků stejný počet sloupců u první matice a řádků u druhé matice. Na obrázku je pod číslem č. 1 uveden obecný vzoreček pro násobení matic. Je docela složitý, ale moc se s ním zatím netrapte, ukážeme si, že konkrétní výpočet součinu matic je jednoduchý. Pod bodem č. 2 je uveden takový konkrétní výpočet. Výsledná matice má tolik řádků, kolik jich má první matice a tolik sloupců, kolik jich má druhá matice. V našem příkladu výsledná matice má rozměr 2 × 2. Prvek v prvním řádku a v prvním sloupci výsledné matice dostaneme tak, že postupně vynásobíme a sečteme odpovídající si prvky v prvním řádku první matice a v prvním sloupci druhé matice. Odpovídající prvky znamenají stejnou pozici prvku; u řádku ji bereme zleva, u sloupce shora. Pozice v našem příkladu jsou tři: první, druhá a třetí. Tohle schéma se opakuje i pro další prvky. Kupříkladu prvek v druhém řádku a v druhém sloupci výsledné matice dostaneme tak, že postupně vynásobíme a sečteme odpovídající si prvky v druhém řádku první matice a v druhém sloupci druhé matice. Pod bodem č. 3 je uveden příklad dvou matic, u nichž nelze spočíst jejich součin, protože nesplňují výše definovaný požadavek na počet řádků a sloupců výchozích matic. Pokud jsme součin matic zvládli, máme to nejtěžší za sebou. V jednom výpočtu budeme ještě potřebovat pojem transponované matice a operaci součtu matic. Transponovanou matici dostaneme z původní matice tak, že zaměníme řádky za sloupce. První řádek původní matice se stane prvním sloupcem transponované matice atd. Pod bodem č. 2 je vysvětlen součet matic. Jednoduše sečteme odpovídající prvky na stejných pozicích. Z toho plyne, že pokud chceme dvě matice nebo více matic sečíst musí mít všechny stejný počet řádků a sloupců.
Na obrázku č. 2 je vše, co budeme potřebovat znát o vektorech. Budeme pracovat s vektory zadanými ve složkovém tvaru. Jednotkové vektory značíme jinak než na střední škole, tam se pro ně obvykle používá značení i, j, k. Tenhle zápis má jednu nevýhodu, nehodí se pro vícerozměrné prostory. Proto v dalším raději použijeme notaci e1, e2, e3, pro větší jasnost ještě přidáme stříšku. Pokud by prostor byl vícerozměrný, mění se jenom index, ale ne písmeno. Vektor je zde zapsán jako vektorový součet vektorových složek (souřadnic). Jednotkové vektory mají délku 1, leží na souřadnicových osách a mají kladný směr ve směru kladných souřadnicových os. Dále zde máme uveden v naší notaci výsledný výraz pro skalární součin vektorů a a b. Ve výsledném výrazu jsme nahradili skalární součin dvou jednotkových vektorů symbolem delta s indexy ij. Zatím nevíme, co to je za symbol, ale ze znalosti vzorce a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3, na střední škole se obvykle zapisuje jako axbx + ayby + azbz, začínáme tušit základní vlastnost tohoto symbolu. Měl by se rovnat 1 pokud jsou indexy i a j stejné, a nule, pokud jsou různé. Přesně takhle je definovaná funkce Kroneckerovo delta. Ale než si uvedeme přesný zápis, poprosím ještě o trochu trpělivosti.
Teď přejdeme k obrázku č. 3. Když spatřila světlo světa teorie relativity, ve vzorcích se začaly často objevovat součty od 1 do 4 (tři prostorové souřadnice a časová souřadnice), přitom se vypisoval i sumační znak. Pokud indexů bylo více, bylo takovéto vypisování docela otravné. Albert Einstein (1879–1955) navrhnul k zkrácení těchto zápisů sumační konvenci (někdy se říká i pravidlo). Tahle knvence je uvedena pod bodem č. 1. Tuhle konvenci v dalším výkladu budeme dodržovat. Pod bodem č. 2 je konečně uvedena přesná definice funkce Kroneckerovo delta. Tuhle funkci si můžeme představit zapsanou ve formě matice. Proměnné jsou celočíselné i a j, přitom při maticovém zápisu i značí index řádku, j index sloupce. Vidíme, že matice má jedničky pouze v hlavní diagonále (druhé diagonále říkáme vedlejší), jelikož pouze tam se indexy i a j rovnají. V bodě č. 3 jsme již námi odvozený výraz pro skalární součet rozepsali pomocí funkce Kroneckerovo delta. To že jsme dostali nám známý vzorec ze střední školy pro skalární součin vektorů a a b nás již asi moc nepřekvapuje.
Na obrázku č. 4 jsou zadány a vypočteny tři jednoduché příklady k procvičení manipulace s indexy a Kroneckerovým delta. Na obrázku č. 2 jsme bez důkazu použili zápis skalárního součinu pomocí součtu součinu složek obou vektorů, jak se můžete přesvědčit formální důkaz této skutečnosti je velice jednoduchý.
Obrázek č. 5 je již nadstavbový. Funkce Kroneckoro delta je zde odvozena jako součet skalárních součinů jednotkových vektorů a jim odpovídajících transponovaných jednotkových vektorů. Sumační znak jsme podle Einsteinova sumačního pravidla vypustili. Jinak při tomto výpočtu jsme využili znalost pojmu transponovaná matice a operací součin a součet matic, viz obrázek č. 1. Popravdě tohle odvození jsem do výkladu zařadil především z důvodu potrénování v zmíněných operacích. V bodě č. 2 je bez důkazu uveden zajímavý vzoreček. Jeho odvození není zase tak těžké, stačí spočíst maticový součin dvou matic. Při výpočtu je důležité si pohlídat indexy. Aplikace tohoto vzorečku je ukázána na výpočtu zdánlivě velice složitého výrazu, který v reálu představuje maticový součin čtyřech matic. Pochopitelně k výsledku, je roven 3, bychom se dopracovali i tak, že bychom maticový součin oněch čtyřech matic za urputného hlídání indexů spočetli. Ale to bych vám neradil. Na tomto příkladu je rovněž hezky vidět účelnost Einsteinova sumačního pravidla.
A jsme téměř u konce. Možná vás napadne přirozená otázka, zda existuje nějaký podobný symbol, který by nám podobně šikovně umožnil zapsat ve složkovém tvaru vektorový součin vektorů. Ze školy víte, že takový zápis je o dost složitější než zápis skalárního součinu a už vůbec nemluvě o zápisu vektorového součinu tří vektorů. Odpověď zní ano, ovšem dotyčný symbol je také o dost složitější než je Kroneckerovo delta a navíc má tři indexy. Jmenuje se Levi–Civitův symbol podle italského matematika (neskloňuji) Tullio Levi–Civita (1873–1941). Jenomže to již saháme na aparát tenzorového počtu (i Kroneckerovo delta je tenzor), toho počtu, bez něhož není možný zápis základní diferenciální rovnice obecné teorie relativity. A právě Tullio Levi-Civita a jeho učitel Gregorio Ricci Surbastro (1853-1925) tento počet (říkali mu absolutní diferenciální počet) rozpracovali do takové hloubky, že umožnil i zápis již zmíněné diferenciální rovnice. Vidíte, začali jsme skalárním součinem vektorů, a u čeho jsme nakonec skončili. I v životě to tak občas chodí, člověk provede něco zdánlivě malého a důsledky jsou dalekosáhlé. Pokud jde o moji osobní zkušenost, obvykle negativní.
V Brně 6. června 2016.