Kvadratická rovnice trochu jinak

Dušan Polanský

Málem zbytečný úvod

Bylo to ještě v 90. letech. Kancelář jsem sdílel s kolegou o něco málo starším než já. Jeho dcerka právě studovala střední školu. Občas jsme hodili řeč i o dětech, tedy i těch mých, jak jim jde škola apod. Jednou mi kolega s úsměvem pravil, že mu je divné, že v matematice u dcerky snad již půl roku neberou nic jiného než kvadratické rovnice. Já nato, že proč ne, že je to docela zajímavá látka. On, že na tom nic zajímavého nevidí, jeden vzoreček, do něhož stačí dosadit správně koeficienty kvadratického mnohočlenu. Abych ho přesvědčil, že tomu tak nemusí vždy být, zadal jsem mu úlohu na hledání minima či maxima; jakou to si již nepamatuji. Kroutil nad tím hlavou, že v tom zadání nevidí žádnou souvislost s kvadratickou rovnicí. Ukázal jsem mu, že souvislost tam přece jenom je. Nad mým výpočtem kroutil hlavou, že takové příklady ve škole, kam chodí jeho holka, neberou. Nevadí, my si přesto v našem povídání několik příkladů na hledání minima i maxima za pomoci kvadratické rovnice vyřešíme.

V našem povídání si vystačíme se znalostí řešení kvadratické rovnice, dokonce se vyhneme případu, když jsou kořeny komplexně sdružené, to by totiž již byl těžký výpočet, a od takových výpočtů raději pryč. Leč aby náš úvod nebyl opravdu zcela zbytečný, tak na obrázku č. 1, číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek, je malé opáčko kvadratické rovnice. Je zde ukázáno, jak se lze klasickým postupem dopracovat k vzorečku pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Při výpočtu jsme použili techniku doplnění dvojčlenu na úplný čtverec, tu použijeme ještě několikrát. Ve škole nás nutili, abychom na správný tvar dvojčlenu, který se umocní na druhou, přišli sami. I to budeme považovat za těžké a raději si to spočteme bez většího namáhání hlavy. Jak? To by mělo být zřejmé z výpočtu na obrázku. Tahle technika je také procvičena na konkrétním příkladu.

Teď, když už máme kvadratickou rovnici zopakovanou, můžeme se vrhnout se na slíbené výpočty s hledáním minima či maxima.

Pointa

Nejprve se společně podívejme na obrázek č. 2. Jsou na něm vyneseny průběhy třech kvadratických funkcí. Graf funkce y = x2 má vrchol v počátku. Graf funkce y = x2 + 2 je posunut směrem nahoru. Graf funkce y = (x - 3)2 + 2 je posunut směrem nahoru a současně doprava, tedy vše uvažováno vůči počátku sořadnicové soustavy. Body A, B, C mají jedno společné, jsou to minimální body všech třech funkcí, dokonce absolutně minimální na jakémkoliv definičním intervalu. Z analytické geometrie víme, že grafem jakékoliv kvadratické funkce je parabola. Zmíněné body A, B, C se v analytické geometrii někdy nazývají vertexy. Také víme, že parabola může být v rovině x, y orientována různě. Může mít vertex nejen dolu, jako v našem příkladu, ale také nahoře, může být také otevřena doleva, pak má vertex vpravo, může být otevřena doprava, pak má vertex vlevo. Jsou možné ještě jiné polohy vzniklé otáčením, ale ty pro nás nebudou pro tentokráte zajímavé. Souřadnice vertexu budou pro nás důležité, jelikož při řešení příkladů na minimum či maximum nám často půjde právě o nalezení souřadnic vertexu.

Na obrázku č. 3 je ukázáno, jak lze převést kvadratickou funkci na tvar, z něhož je hned zřejmé, jaké jsou souřadnice vertexu. Vertex je zde označen V a jeho souřadnice h a k. Jistě vás nepřekvapí, že při výpočtu jsme použili techniku doplnění na úplný čtverec. Na příkladu je ukázáno, že někdy ani nepotřebujeme aplikovat obecné vzorečky pro výpočet souřadnic h a k, ale stačí šikovně aplikovat techniku doplnění na úplný čtverec a je vymalováno.

Tím máme teoretickou přípravu z krku a pustíme se do řešení příkladů v pořadí jejich složitosti.

Zadání a řešení prvního příkladu je na obrázku č. 4. Máme nalézt maximální y-novou souřadnici elipsy zobrazené na obrázku.

Všimněte si, že v bodech x1 a x2, které jsou symetrické vůči středu elipsy jsou y-nové souřadnice stejné a jsou dvě, tedy když jsou dvě, tak to asi nebude maximální hodnota. V námi hledaném bodě na ose x musí být y-ová souřadnice maximální a jediná. Pochopitelně ti, kteří si ještě něco pamatují z analytické geometrie ví, že maximální y-ová souřadnice má hodnotu b, tedy hodnotu vedlejší osy. Ale na chvíli zapomeňme, že to víme, a z rovnice elipsy pro zadanou polohu, viz bod č. 1, tuhle skutečnost si odvodíme. Výpočtem jsme také určili polohu maximální hodnoty y na ose x. Při našem definování počátku souřadnicového systému toto x = a, přičemž a je délka hlavní osy elipsy.

To byl asi moc jednoduchý příklad, a navíc jsme hned věděli, jaký bude výsledek, takže něco o málo složitějšího.

Máme 40 m dřevěné palisády, přičemž jednotlivé délky dílců palisády lze dle potřeby pružně měnit. S tímto množstvím palisády bychom chtěli ohradit maximální pravoúhlou plochu trávníku, když víme, že z jedné strany je již postaven dlouhý pevný plot, viz obr. č. 5.

Pochopitelně můžeme začít hledat řešení experimentováním, tak jak je uvedeno na obrázku. Vidíme, že pro různé volby délek obdélníka x a w nám vychází různé plochy. Jistě bychom časem trefili i optimální hodnoty délek x a w. Jelikož se momentálně bavíme matematikou, půjdeme na to výpočtem. Plochu trávníku označíme P a jeho obvod O. Jednoduchou úvahou jsem se dopracovali ke kvadratické funkci P (plocha trávníku) = -2x2 + 40 x. Zajímavé na této funkci je, že plocha trávníků teď závisí pouze na délce x, ačkoliv P = f(x,w). Tento postup je nutný proto, že v kvadratické rovnici vystupuje ba pouze jedna proměnná, ve škole se obvykle začí x. Kdyby tam figurovaly dvě proměnné, tak rovnici o dvou neznámých bychom neuměli řešit. Teď potřebujeme najít vertex, ovšem tentokráte bude parabola otevřená směrem dolů, vertex musí mít tentokráte maximální hodnoty souřadnic paraboly, protože hledáme maximální hodnotu plochy trávníků. Pro výpočet souřadnic jsme tentokráte použili obecné vzorečky z obrázku č. 2. X-ová souřadnice nám vyšla 20 m, plocha 200 m2. Z těchto hodnot již lehce spočteme, dokonce dvěma postupy, délku w. Ještě jednou si zdůraznime, že ačkoliv P je funkcí dvou proměnných x a w, při výpočtu jsme postupovali tak, aby byla pouze funkcí jedné proměnné, a to x. Vyzkoušejte si postup, při němž vyeliminujete proměnnou x, a plocha P bude záviset pouze na w. Pochopitelně pak musíte z plochy a w určit hodnotu proměnné x. Ovšem výsledek by měl být stejný.

Pro zajímavost jsem funkci y = -2x2 + 40 x pomocí kalkulátoru [1] tabeloval, viz obrázek č. 6. Označení P jsem nemohl použít, jelikož kalkulátor požaduje závisle proměnnou označit y, takže y je plocha trávníků. Na obrázku je hezky vidět závislost velikosti plochy trávníků na hodnotě délky x.

A teď si dáme trochu složitější příklad. Popravdě ani nebude tak těžký z hlediska pochopení, jako pracnosti výpočtu.

Je daná pevná přímka, viz obrázek č.7, a s ní rovnoběžná úsečka a ve vzálenosti h. Koncovové body úsečky a jsou C a B. Naším úkolem je odpálit míček z bodu C do šráfované přímky tak, aby míček dosáhl bodu B po nejkratší možné trase. Tedy máme určit polohu bodu A. Uvažujme, že vše se odehrává v rovině.

Je to příklad z fyziky, a jistě vám nic nového neprozradím, když řeknu, že přímky CA a x nám vyjdou stejně dlouhé, tedy že platí zákon odrazu, tak jej známe z fyziky, tedy že úhel dopadu se rovná úhlu odrazu, přičemž dráha odraženého míčku zůstává v rovině dopadu.

Náš postup bude velice podobný příkladu z obrázku č. 5. Opět šikovně propojíme obsah trojúhelníků s jeho obvodem. Tohle propojení je dáno – jak je známo již přes dva tisíce let – Heronovým vzorcem, v němž y je obvod našeho trojúhelníku. Pokud snad vzorečku nevěříte, Heronův vzorec je odvozen v každé učebnici geometrie pro střední školy. Naším cílem bude se dopracovat ke vztahu, který je uveden hned pod Heronovým vzorcem. Pokud se nám to povede, již lehce zjistíme xmin. Intuitivně tušíme že xmin, a tím pádem i CA budou ve finále záviset jenom na hodnotách a a h, tedy že xmin = f(a,h). Pokud budeme znát délku xmin, CA lehce spočteme ze vzorečku pro obvod trojúhelníku.

Postup výpočtu je uveden na obrázcích č. 7 a č. 8. Vidíme, že opravdu nám vyšlo, že CA = x, tedy že úhel dopadu se rovná úhlu odrazu.

Ti, co mají za sebou základní kurz diferenciálního počtu ví, že podobné úlohy se elegantně řeší pomocí derivace. Pravda to je, ale také je pravda, že někdy to jde i bez derivace, a že si vystačíme se znalostí řešení kvadratické rovnice, a to jsme si chtěli ukázat.

Internetová aplikace:
[1] https://www.geogebra.org/calculator aplikace: calculator suite.

V Brně 3. května 2021.

Domů | Prolog 2001: Vesmírná odysea | Nejen básně v próze | Střípky