Konkurence je i v matematice
Dušan Polanský
Někdy to už tak chodí, nějaký obor lidské činnosti či teorie se o něco opírá, ale pak se objeví nástroje či techniky, které se jeví efektivnější a přesnější než ty, co se používaly v minulých časech. Leč obvykle ne je to čistá negace, jelikož se stává, že bez nástrojů a technik z minula se především vědecká či technická praxe jednoduše neobejde. A jak je známo většina matematiků příliš tyhle konkrétní praxe nemá v oblibě, lépe se cítí ve svém čistém ráji.
Taková jedna změna nastala i v matematice, a dokonce dost zásadní. Dva vynikající vědci, matematik a fyzik Isaac Newton (1643 – 1727) a univerzální génius, a tudíž i matematik, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) položili základy infinitezimálního kalkulu, tedy diferenciálního a integrálního počtu, na kalkulacích s nekonečně malými veličinami, také se jim říká infinitezimální veličiny. Výhodou tohoto přístupu byla veliká názornost, třebaže za cenu menší přesnosti důkazů, takže i sebemenší nedůslednost při aplikaci tohoto postupu vedla k nesprávným výsledkům. Matematici s tímto stavem nebyli moc spokojeni, navíc když šlo o jejich letadlovou loď, tedy o matematickou analýzu. A tu hle vynikající matematik, fyzik, lékař a filozof Jean le Rond d’Alembert (1717 – 1783) zavedl pojem limity. Tento pojem v různých obměnách dobře znají všichni studenti vysokých škol, kde se matematika vyučuje, je jakousi alfa a omegou celého diferenciálního a integrálního počtu. Důsledkem zavedení postupů postavených na pojmu limity bylo zvýšení přesnosti a jasnosti důkazů a výpočtů, a tím i zvýšení spokojenosti především matematiků. Jeden by se tím domníval, že nekonečně malé veličiny tím ztratily svůj význam a dočkají se úplného zapomnění. Ale kdepak! Fyzici, technici i další vědci z jiných oborů je stále mají v oblibě pro jejich názornost a přirozenost výpočtů. Většina hlavně diferenciálních rovnic z fyziky, geometrie, chemie, technických, biologických a dalších věd, byla odvozena a zdůvodněna právě pomocí úvah s využitím nekonečně malých veličin. Pomocí moderních technik postavených právě na pojmu limity toho jednoduše moc neodvodíte, třebaže tyto techniky se výborně uplatňují především při důkazech z infinitezimálního počtu a teorie diferenciálních rovnic, a rovněž při hledání řešení těchto rovnic.
V tomto textu se pokusím dle svých možností na intuitivní úrovni, a snad i názorně, vysvětlit co máme rozumět pod pojmem nekonečně malé veličiny, a hlavně ukázat její praktickou užitečnost a názornost na dvou jednoduchých příkladech z fyziky kapalin; nemějte strach z fyziky, sáhneme na učivo ze základky.
Abychom si intuitivně vysvětlili, co máme rozumět pod dost mlhavým pojmem nekonečně malé veličiny, podíváme se spolu na obrázek č. 1; číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek. Vidíme zde čtverec o délce 1 metru, tedy 1000 milimetrů. Ptáme se, jak se změní obsah tohoto čtverce, když délku strany zvětšíme o 1 mm na každé straně. Sice 1 mm si ještě umíme docela jasně představit, ale klidně to mohla být tisícina milimetru, ale co tisícina, klidně miliontina atd. Ale stále to bude konečná hodnota! V tom je celá pointa, kdybychom ctili pána d’Alemberta musili bychom učeně říct, že hodnotu necháme konvergovat k nule. Ale kdepak, pro nás to bude sice hrozně malinkatá, ale stále konečná hodnota, vždyť nakonec i moderní teorie kvantové gravitace vychází z předpokladu, že čas i prostor nejsou nekonečně dělitelné. Pochopitelně v matematice to možné je, jelikož ta nemusí ve svých úvahách zohledňovat fyzikální realitu.
Přírůstek obsahu čtverce jsme si rozdělili na hlavní část přírůstku a zanedbatelnou (vedlejší) část přírůstku, která v našem formálním označení má velikost 4dx2. Je intuitivně zřejmé, že pokud obsah čtverce zvětšíme o velice malý přírůstek, např. zmíněnou miliontinu milimetru, neuděláme ani moc velikou chybu, když tento zanedbatelný přírůstek zcela zanedbáme a výpočet bude téměř přesný. Kdybychom čtverec nahradili krychlí a počítali zvětšení jeho objemu při zvětšení hrany opět o velice malý přírůstek, tak zanedbatelný přírůstek by měl hodnotu 8dx3. U dx2 jsme přírůstek násobili dvakrát, u dx3 bychom jej násobili dokonce třikrát, což by vedlo k ještě k zanedbatelnějším hodnotám, nemluvě už vůbec o dx4 atd. I proto matematici často ve svých důkazech přírůstky rovné nebo větší než dx2 zanedbávají.
V souvislosti s tím, že používáme slovo nekonečno, chtěl bych zmínit, že nejen v matematice, ale i ve filozofii se vedou učené disputace kolem rozdílu mezi aktuálním a potenciálním nekonečnem. Zájemce odkazuji na hromadu textů k tomuto problému na internetu, ačkoliv osobně jej nepovažuji až tak za zásadní pro praktickou využitelnost infinitezimálního počtu, o čemž se nás různí autoři občas snaží přesvědčit, bohužel ale jenom teoreticky, ne na konkrétních příkladech z fyziky či jiných exaktních věd. My ale zde nad tímto problémem rozjímat nebudeme, raději si ukážeme, jak se s nekonečně malými veličinami pracuje v praxi.
Zvolil jsem dva jednoduché příklady z fyziky kapalin, de facto jsou málem stejné. K výpočtu budeme potřebovat jenom to, co je uvedeno na obrázku č.2, tedy vzoreček pro velikost hydrostatického tlaku v kapalině vyvolaný tíhovou silou kapaliny, viz látku ze základní školy, a z matematiky to nejzákladnější z integrálního počtu. Pokud vám pojem integrálu nic neříká, představte si určitý integrál jako výpočet obsahu plochy ohraničené nahoře grafem funkce y = f(x) a po stranách svislicemi, viz obrázek.
Na obrázku č. 3 je spočtena velikost síly působící na jednu stranu bazénu plně napuštěného vodou. Je pravda, že tento příklad lze snadno spočíst i bez použití integrálního počtu, ale nám zde jde o vysvětlení práce s nekonečně malými veličinami. Jak vidíte, za nekonečně malou veličinu jsme si zvolili tenounký proužek, obdélník, o výšce dx a délce a, přičemž dx si můžeme opět představit např. jako již zmíněnou miliontinu milimetru, pokud se vám to zdá málo, klidně si představte ještě menší část milimetru či jiné veličiny délky. Plochu tohoto proužku jsme si označili dS a silu, která na něj působí dF. Tedy stále pracujeme s nekonečně malými veličinami, viz písmenko d. Výslednou silu působící na stěnu bazénu pak získáme výpočtem určitého integrálu, v němž opět vystupuje nekonečně malá veličina dx. Tedy opět pracujeme s nekonečně malými veličinami nějak tak, jak si to představovali pánové Newton a Leibniz. Pokud jde o pána d’Alembert, tak toho jsem k tomu vůbec nepotřebovali, ačkoliv na jeho pojmu limity v různých obměnách stojí celý současný infinitezimální kalkul.
Druhý příklad, viz obrázek č. 4, je velice podobný, jenom náš bazén má trojúhelníkový tvar, přesněji je to rovnoramenný trojúhelník. To víte, vodou se má šetřit. Ještě stále by se dal i tento příklad spočíst pomocí středoškolské matematiky, ačkoliv trochu pracně, což ale nebudeme činit, jelikož nám jde především o vysvětlení metody, která používá nekonečně malé veličiny. Tady na rozdíl od prvního příkladu, se délka nekonečně malého proužku s výškou mění. Jak jsme si s tím poradili, je zřejmé z obrázku.
Kdysi se mě jeden mladý student matematiky zeptal, proč jim na univerzitě neukazují, jak se prakticky sestavují diferenciální rovnice z různých vědních oborů? To máte jednoduché, pravil jsem a pokračoval, to totiž chce většinou dvě věci: rozumět do hloubky dané odborné problematice a umět mistrně využívat techniku nekonečně malých veličin, nějak podobně jak ji mistrně používali pánové Newton a Leibniz. Moc se nechytal, ale pak jsem mu to nějak podobně, jako zde vám, vysvětlil. Byl z toho docela udivený a dost se divil, že se tomu na univerzitě matematici neučí. Popravdě ani neznám literaturu, kde by se o praktickém aspektu využití techniky nekonečně malých veličin v různých oborech alespoň ukázkově pojednávalo. V každém případě technika nekonečně malých veličin je velice silným a názorným nástrojem pro každého, kdo chce hlouběji vklouznout do krásy různých diferenciálních a integrálních zákonitostí v různých vědných oborech. Snad tento text bude některým čtenářům v tomto snažení alespoň nepatrně užitečný.
Napsáno v Brně 31. 12. 2021 a 1. 1. 2022. Publikováno 2. 1. 2022.