Neoblíbené logaritmy

Dušan Polanský

Za mých středoškolských studií (1967–1971) za logaritmy učily a také prakticky používaly, tedy alespoň na stavební průmyslovce. Bylo to dáno tím, že ještě nebyly kalkulačky a při výpočtech v odborných předmětech se hodně používalo logaritmické pravítko. Výpočty pravítkem byly vždy jenom přibližné, což bylo dáno konstrukcí pravítka a přesností odečtu hodnot ze stupnice, ale dosažená přesnost výpočtů bohatě v stavařských předmětech dostačovala. Pokud jde o tabulky, tak se používaly pětimístné. Opět dosažená přesnost postačovala. Pochopitelně byly k dostání i sedmimístné tabulky, viz např. [2], ale ty se na středních školách obvykle nepoužívaly.

Pokud jde o logaritmické pravítko, nikdo nám nevysvětlil propojení teorie logaritmů s konstrukci pravítka (v slangu logáro), pouze jsme věděli, že hlavní stupnice je logaritmická. Pravítko jsme v odborných předmětech používali mechanicky, ale zase proč ne, většina uživatelů také neví, a popravdě je to ani nezajímá, co se děje uvnitř v počítači, a přesto počítač úspěšně používá. Podobně jako používá např. auto, televizor, lednici, mobil.

Nedávno jsem se dočetl, že logaritmy studenti nemají v oblibě, asi podobně jako nerovnosti s absolutními hodnotami. Moralizovat a mudrovat je zcela zbytečné, s čím se člověk potkává jenom ve škole, ale ne v životě, je a bude vždy neoblíbené, což je nakonec správné. Máme se učit pro život, ne pro memorování, třebaže mnozí učitelé zastávají názor, že škola je také fragment života, takže jaképak copak: Studenti, učte se pro školu!

Jenomže někdy trochu opatrnosti neuškodí ani v matematice, ačkoliv její zamýšlenou maturitní povinnost považuji za dost problematickou. Logaritmům se nedá i přes dokonale kalkulačky a tabulkové procesory (např. Excel) jenom tak lehce uniknout. V pokročilejší fyzice, technických vědách, v teorii informací a chemii na ně narazíte. Takže nebude snad od věci to úplně nejelementárnější si o nich říct, přesněji si zopakovat. K pochopení vystačíme s látkou ze základky, maximálně navíc budeme potřebovat vědět, že např. mocninu 2–n lze zapsat jako 1/2 n.

Většina z nás zcela intuitivně tuší, že obvykle každá matematická operace má i operaci inverzní. Pokud platí c = a + b, např. 10 = 7 + 3, tak pomocí inverzní operace odčítání (–) můžeme zapsat výpočet pro a i b: a = c – b, b = c – a. Pokud platí c = a × b, např. 30 = 3 × 10, tak pomocí operace dělení (/) dokážeme zapsat výpočet pro a i b: a = c/b, b = c/a. Ale teď budeme trochu opatrnější, pokud platí c = ab, kupříkladu 1024 = 2 10 tak bez váhání pomocí operace odmocnění dokážeme vypočíst a jako b-tou odmocninu z c. Ovšem jakou operaci použít pro zápis výpočtu b, tedy exponentu? Právě k tomu slouží operace logaritmus, tedy v zkratce řečeno logaritmus je exponent. Tímto exponentem umocníme tzv. základ, v našem označení a (základ může být principiálně jakékoliv kladné číslo mimo 1), a měli bychom dostat c. V našem numerickém příkladu vyjádříme exponent 10 jako log 21024, což čteme: logaritmus 1024 o základě 2 je 10. Popravdě základ 2 se moc nepoužívá, občas v informatice, ve středoškolské matematice se většinou probírají logaritmy o základě 10, jsou to tzv. dekadické logaritmy (Briggsovy) a značí se log. Hlavně ve fyzice a vyšší matematice se užívá logaritmů o základě e (cca 2,718), takové logaritmy značíme obvykle ln (logaritmus naturalis).

My se sice budeme věnovat dekadickým logaritmům, ale pro názorné vysvětlení vztahu exponenciální a logaritmické funkce se hodí již zmíněné logaritmy o základě 2. Na obrázku č. 1 vidíme vztah těchto dvou funkcí jak v podobě tabulkové, tak i grafické. Vidíme, že jsou symetrické podle přímky y = x, v matematice takovým funkcím říkáme inverzní. Jak jsme se k inverzní funkci dopracovali? Vyšli jsme z exponenciální funkce y = 2x, z té se dostaneme k inverzní funkci (v té vyjádříme zatím čistě formálně x jako funkci y v stejném tvaru jako jsme vyjádřili y) x = 2y, v které ale musíme dát y správnou formu i správný význam. V našem případě to bude y = log2x, což je funkce logaritmická, protože dle definice logaritmu platí, že: x = 2log2x. I proto nás moc nepřekvapí, že v kalkulačce nad klávesou log je napsáno 10x. Všichni víme, že exponenciální funkci (a další funkce napsané nad klávesou) vyvoláme po stisku klávesy 2ndf. Z našeho obrázku je zřejmé, že logaritmická funkce má smysl pouze pro kladná čísla. S nulou jsou jako vždy problémy, protože logaritmus nuly je nehezké číslo: mínus nekonečno.

Trik s vytvořením inverzní funkce si je užitečné zapamatovat, např. velice podobně postupujeme, když chceme vyrobit k funkcím goniometrickýn inverzní funkce, tedy funkce cyklometrické.

Už jsme si řekli, že éra výpočtů pomocí logaritmů skončila s nástupem kalkulaček a počítačů. Do té doby výpočty s velikým čísly, s čísly s mnoha desetinnými místy, složité odmocniny či mocniny se počítali logaritmicky. Kupříkladu když máte ručně pod sebou (dnes to školáci ani moc neumí) vynásobit dvě čísla 25,689 × 56,897 docela se nadřete, kdežto když máte k dispozici logaritmické tabulky výpočet se o něco zjednoduší. Za chvíli si na praktickém příkladě ukážeme, jak se kdysi pomocí logaritmů počítalo, ale napřed si odvodíme základní pravidla pro počítání s logaritmy, protože ty budeme pro naše výpočty potřebovat. Obvykle je studenti znají mechanicky, ale jejich odvození, jak můžete vidět na obrázku č. 2, je poměrně jednoduché. V bodě č. 1 je definice logaritmu, v bodě č. 2 jsou vykřičníkem označené dva důležité vztahy, které jsme si odvodili o kousek výše, akorát tam jsme uvažovali základ 2. V dalších bodech jsou odvozeny základní vztahy pro počítání s logaritmy právě s využitím zmíněných důležitých vztahů. Je intuitivně zřejmé, že sčítání je jednodušší operace než násobení, podobně odčítání než dělení, násobení než umocnění a dělení než odmocnění. No a právě na tyto jednodušší operace se při počítání s logaritmy složitější operace převádějí. V tom je počtářská pointa využití logaritmů.

Teď si ukážeme, jak se s logaritmy počítalo. Jelikož většina z vás nemá k dispozici klasické tištěné Valouchovy tabulky, např. viz [2], popravdě také k čemu, použijeme k tomu vědeckou kalkulačku. Tu má dnes k dispozici každý student. Dokonce přesnost logaritmů získaných kalkulačkou je vyšší než např. v zmíněné literatuře. Výpočty jsou na obrázku č. 3.

V prvním příkladu máme logaritmicky spočíst třetí odmocninu z 729. Předem víme, že je to přesně 9. Jde o to, zda se trefíme do 9 i při logaritmickém výpočtu. Vidíme, že pokud použijeme hodnotu z výpočtu, že jo. Proč? Protože i ta moje levná kalkulačka za necelých 100 Kč při výpočtu pracuje s více číslicemi než zobrazuje na displeji (moje zobrazuje 10 číslic). Pokud nepracujeme s průběžnou hodnotou z předchozích výpočtů, displej vynulujeme klávesou C a zadáme číslo 0,954242509, pak po volbě inverzní funkce 10x, výsledek se k 9 jenom velmi těsně blíží. Vidíme, že logaritmické výpočty jsou často jenom přibližné.

V druhém příkladu máme spočíst hodnotu relativně složitého vzorce. Vzorec jsem převzal z [1], str. 236. Tam je výpočet proveden s využitím pětimístných logaritmů čísel z tabulek, proto i my počítáme s pěti desetinnými místy. Výsledky jsou velice podobné. Je to tím, že pokud počtář v tabulkách nenašel příslušnou hodnotu, tak se dělali poměrně složité interpolace, kdežto my jsme v kalkulátoru jednoduše uvažovali jenom pět desetinných míst bez jakékoliv interpolace či zaokrouhlování.

V posledním, třetím, příkladu máme určit algoritmus čísla 0,42132 na 7 desetinných míst jednak z tabulek [2], a jednak pomocí kalkulačky. Vidíme, že zdánlivě jsou to různé hodnoty, ale opravdu jenom zdánlivě, protože v bezkalkulačkovém věku se používal zápis výhodnější pro ruční výpočty, kdežto kalkulačka nám dá tvar se záporným znaménkem.

No a to je o základech logaritmů z mé strany vše.

Doplněk:   Samostatnou kapitolu tvoří logaritmické rovnice, které patří do veliké skupiny funkcí transcendentních (kupříkladu tam patří funkce exponenciální; goniometrické a k ním inverzní funkce cyklometrické). V logaritmické funkci vystupuje neznámá v logaritmu. Často k výsledku vedou šikovné algebraické úpravy. Na internetu je takových rovnic vyřešených habaděj, ovšem jak jsem se zběžně díval, téměř žádná pozornost není věnována rovnicím, jako je např. zdánlivě jednoduchá rovnice: x = 50 * log(x). Tahle má na první mrknutí určitě řešení x = 100, ovšem může mít i jiná řešení, např. přibližné řešení 1,049519. U takovýchto rovnic nám algebraické úpravy nepomohou, musíme zvolit numerické nebo grafické řešení. Je zajímavé, že jsem zvolil v Excelu techniku úmyslných cyklických odkazů, ale na zde uvedenou rovnici technika nezabrala. Kupříkladu rovnici x = cos(x) pomocí iterativních přepočtů (právě ty využívá zmíněná technika cyklických odkazů) Excel hravě zvládnul. Zmíněnou rovnici s logaritmickou funkcí lze ale vyřešit pomocí excelovského doplňku Řešitel. Ale to je již povídání o jiné problematice.

Literatura:

[1] Kudláček L., Válka F., Burian F.: Matematika pro I. a II. ročník studia na středních průmyslových školách pro pracující. Praha 1963, SPN.
[2]Valouch M., Valouch M. A.: Sedmimístné logaritmy čísel. Praha 1953, NČAV.

V Brně 31. ledna 2019.

Domů | Prolog 2001: Vesmírná odysea | Nejen básně v próze | Střípky