A proč ne medián?

Dušan Polanský

Hned v úvodu slibuji, že vás nebudu otravovat žádnými složitými výpočty, spíš mi půjde o takovou malou úvahu kolem výše mezd. Jak je známo, od 1. 1. 2024 vláda garantuje zákonem učitelům plat ve výši 130 % průměrné mzdy z předchozího roku. Přesnější pojem než mzda za rok je celkový příjem za rok, ale já budu v dalším používat kvůli zjednodušení výpočtů v příkladech pojem mzda, statistická pointa výkladu se tím nezmění. Kdo si potrpí na legislativní přesnost tak příslušná formulace zní: Celková výše peněz na platy učitelů musí podle schválené úpravy činit od příštího roku „v měsíčním průměru na jeden úvazek učitele nejméně 130 procent průměrné hrubé měsíční nominální mzdy na přepočtené počty zaměstnanců v národním hospodářství“.

Vůbec nechci hodnotit, zda těch 130 % průměrné mzdy je správně, nesprávně nebo zda se podobné zákony v našem dost nestabilním světě mají přijímat, ale jde mi jen a jen o pojem průměrné mzdy. Je šťastné tento pojem u mezd používat?

Průměrná mzda je aritmetický průměr všech mezd vyplácených v určitém období, kupříkladu za měsíc, půlrok či rok. Jak víme, aritmetický průměr (AP) je součet všech hodnot vydělený počtem hodnot. Kupříkladu AP hodnot 2, 3, 5 a 10 je 20/4 = 5.

Matematici mají AP ve veliké oblibě už jenom kvůli tomu, že když spočtenou hodnotu AP vynásobíte počtem hodnot dostanete stejnou sumu, jako když jste sečetli všechny hodnoty, v našem příkladu 5 × 4 = 20. Průměrů známe více, např. geometrický, harmonický, klouzavý, vážený průměr. Ovšem nás tyhle jiné průměry teď nezajímají. Nás bude zajímat jiný veliký konkurent AP v případě statistiky mezd, a to medián.

Medián je hodnota, která se nachází přesně uprostřed ve skupině vzestupně seřazených hodnot. To znamená, že polovina posuzovaných hodnot je menších než medián a druhá polovina je větších než medián. Kupříkladu když máme hodnoty 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tak medián je 5, protože 4 hodnoty jsou menší než 5 a 4 hodnoty jsou větší než 5. Když je hodnot sudý počet, tak obvykle se medián vypočítá jako AP dvou hodnot, té uprostřed a té za ní. Kdybychom k naší řadě přidali ještě hodnotu 10, tak medián by byl (5 + 6)/2 = 5,5. Malá chyba krásy je, že taková hodnota se v naší řadě se sudým počtem hodnot nevyskytuje. Ale pokud jde o AP to platí téměř vždy.

Při našem povídání pro větší názornost použijeme ještě jednu charakteristiku ze statistiky, a to směrodatnou odchylku (SO). Je to průměrná odchylka od AP, neboli vyjadřuje míru rozptylu sledovaných hodnot od AP. Počítá se trochu složitěji, ale zase ne až tak těžko. Představte si, že jsem pivař (což není pravda, jsem spíš na víno) a vypiju v týdnu průměrně každý den 2 piva, tedy celkem za týden 14 piv. Tedy pokud ve vzorovém týdnu tyhle hodnoty dodržím, tak intuitivně tušíme, že AP = 2 a SO = 0, jelikož jsem se od AP neodchýlil ani jeden den nahoru ani dolu. Teď si představte že je týden, kdy v pondělí až v sobotu vypiju jenom 1 pivo, a v sobotu na tahu s kamarády 8 piv, čímž také dodržím výslednou týdenní konzumaci 14 piv. Jaká bude teď SO? V pondělí až sobotu je odchylka od AP (ten je 2) -1 a v neděli 6. Umocním hodnoty -1, -1, -1, -1, -1, -1 a 6 na druhou, sečtu jejich mocniny, dostanu číslo 42, toto číslo vydělím 7 (počet dnů v týdnu), dostanu 6, a toto číslo odmocním, a vyjde nám SO = 2,449.

Abych ukázal, proč se spíš kloním k tomu, aby se při udávání výše mezd spíš používal důsledně medián než AP, představíme si dvě firmy o 9 pracovnících, označíme si je jako A a B. U každé si uvedeme součet jejich mezd, AP, SO, medián a rozdíl: AP - medián. Pokud jde o to, v čem je mzda udaná, či v Kč, Librách, v Euru či nějakých násobcích není vůbec z našeho pohledu důležité. Pokud máte s tím problém, vynásobte si pro větší názornost mzdy zde uvedené číslem 1000 a jako peněžní jednotku si představte 1 Kč. Dopadlo to takto:

Mzdy ve fiktivní firmě A s 9 pracovníky
1 2 3 4 5 6 7 8 9
20 20 20 25 25 30 30 40 60

 

Suma mezd: 270
AP = 30
SO = 12,25
Medián = 25
AP - medián = 30 - 25 = 5

Mzdy ve fiktivní firmě B s 9 pracovníky
1 2 3 4 5 6 7 8 9
20 20 20 25 25 35 35 50 130

 

Suma mezd: 360
AP = 40
SO = 33,17
Medián = 25
AP - medián = 40 - 25 = 15

Co lze z těchto dvou teoretických příkladů vyčíst?

  1. Především si všimněme, že ačkoliv se průměrná mzda změnila, medián zůstal stejný, tedy měl hodnotu 25 a zůstal „sedět“ uprostřed řady uspořádané vzestupně, jak u firmy A, tak i B.
  2. Názorně vidíme, že průměrná mzda (vypočtena jako AP) je silně závislá na nejvyšších příjmech. Ve firmě B nejvyšší mzda 130 jako magnet přitahuje průměrnou mzdu směrem k 130, důsledkem toho je, že 7 z 9 pracovníků pobírá mzdu menší než je průměrná mzda! Dokonce kdyby byl nejvyšší příjem ještě o něco vyšší, tak průměrnou mzdu, kromě pracovníka s tímto vysokým příjmem, nebude už pobírat nikdo! A to dost názorně ukazuje bídu vhodnosti průměrné mzdy při uvádění údajů kolem výšky mezd. Ve firmě A to nedopadlo tak tragicky, vyšší nebo rovnou mzdu jako je průměrná mzda pobírají 4 pracovníci.
  3. U firmy A, kde rozdíly v mzdách nejsou až tak veliké, rozdíl mezi AP a mediánem není veliký, činí 5 peněžních jednotek. U firmy B, kde rozdíly v mzdách jsou značné, rozdíl je již markantní, činí 15 peněžních jednotek.
  4. Podobně to dopadlo u SO. U firmy A, kde rozdíly v mzdách nejsou až tak veliké, SO je 12,25 peněžních jednotek, tedy asi polovina mediánu. U firmy B, kde rozdíly v mzdách jsou značné, SO je to až 33,17 peněžních jednotek, což je nejen nad mediánem, ale dokonce se blíží k hodnotě průměrné mzdy!

Příklady jsem sice vymyslel, v reálu asi takové dvě firmy jen tak nenajdeme, ale poměrně přesvědčivě statisticky ukazují nevhodnost uvádění průměrné mzdy jako ukazatele charakterizujícího na globální úrovni výši pobírané mzdy u většiny pracovníků. Medián se jeví daleko přesvědčivější a více odráží na globální úrovni mzdovou realitu většiny pracovníků. A ještě něco, tyhle skutečnosti vám potvrdí každá mzdová účetní soukromé firmy. A to je vše.

 

V Brně 6. ledna 2024.

Domů | Prolog 2001: Vesmírná odysea | Nejen básně v próze | Střípky