Nedorozumění
Dušan Polanský
Někdy nás zběžný pohled klame nebo věci vidíme tak, jak je vidět chceme. Napsala mi dáma, vysokoškolská učitelka humanitního předmětu, že na mých stránkách silně preferuji matematiku a fyziku a že na humanitní obory se dívám spatra.
Tak to je opravdu nedorozumění, napsat nepochopení by bylo zbytečně silné slovo, vždyť se jedná o čistě akademický spor, kde o nic nejde. Snad vše osvětlí malé vysvětlení. Než dám něco z matematiky nebo fyziky na své stránky, většinou vybírám látku vyžadující minimum základních znalostí. Na látce, podané obvykle formou příkladu, pak demonstruji, že v těchto vědách se lze i s minimem znalostí dopracovat k velice zajímavým výsledkům. Nevím, zda až tak jednoduše by to šlo v humanitních vědách. Asi ne. Humanitní obory vyžadují daleko komplexnější přístup než obory přírodovědné. Není náhodou, že špičkové matematické či fyzikální práce napsali nejednou mladíci, kdežto špičková humanitní díla v drtivé většině lidé starší, zkušenější, čerpající se značného pensa širokých znalostí. Těžko mohl Immanuel Kant (1724-1804) napsat Kritiku čistého rozumu (první vydání 1781) v mládí, když na ní pracoval 15 let. Podobně dominikán Tomáš Akvinský (1225-1274) na svém stěžejním díle Summa theologická (vycházela postupně v letech 1265-1273, ale zůstala nedokončená) pracoval posledních 10 let svého života po velice systematické celoživotní přípravě. Podobně to bylo s jeho druhým stěžejním dílem Summou proti pohanům.
V matematice a fyzice může zazářit i velice mladý člověk. Kupříkladu Évariste Galois (1811-1832) dokázal v 20 letech v dopise na rozloučenou před soubojem položit základy celé moderní algebry. Albert Einstein (1879-1955) speciální teorii relativity publikoval na několika stránkách v roce 1905. Další fyzik Werner Heisenberg (1901-1976) svůj princip neurčitosti formuloval opět na několika stránkách v roce 1927. K tomuto principu se ještě vrátíme v příkladu.
Abych opět tento svůj pohled na rozdíl mezi humanitními a exaktními vědami dokumentoval konkrétněji, vybral jsem z fyziky tři příklady. První je z klasické newtonovské mechaniky, druhý a třetí jsou rovněž z mechaniky, ale pro změnu z kvantové. První příklad se opírá o druhý pohybový zákon Isaaca Newtona (1642-1727). Ten říká, že platí matematický vztah F = m.a mezi silou působící na těleso o hmotnosti m a zrychlením tomuto tělesu udělenému zmíněnou silou. Tenhle vzoreček se učí na základní škole v posledním ročníku ve fyzice. Druhý a třetí příklad bude z novější fyziky a bude na již zmíněný princip neurčitosti.
K prvnímu příkladu patří první obrázek. Newtonův vzoreček aplikujeme na Atwoodův stroj, což není nic jiného než pevná kladka, přes kterou je natažené pevné vlákno, na jehož obou koncích jsou visí závaží. Nemusíme příliš přemýšlet a hned nám je jasné, že pokud závaží budou mít stejnou hmotnost, tak pohyb pozorovat nebudeme. Jakmile bude jedno závaží těžší než druhé, to těžší se začne pohybovat směrem dolů s určitým zrychlením a to lehčí nahoru se stejným zrychlením opačného směru. Nás bude zajímat velikost tohoto zrychlení (a) a velikost síly (T) působící na vlákno. Ve fyzice, ale nejen tam, platí, že výpočet se má provést obecně bez konkrétních hodnot a teprve až do obecného výsledného vzorce dosazujeme konkrétní hodnoty. I my budeme postupovat přesně tak.
V bodě č. 1 jsou uvedena fakta, která potřebujeme znát. Před sílou F jsem napsali sumační znaménko, není to nic jiného, než že na těleso může působit více sil, v reálu obvykle tomu tak i je. Abychom mohli aplikovat Newtonův pohybový zákon i v tomto případě, musíme předem provést vektorový součet všech sil působících na daný systém, čímž získáme výslednici sil nejen co do velikosti, ale i směru a orientace. Tím se nám celý výpočet velice zjednoduší, jelikož tahle jediná síla, výslednice všech sil, nahrazuje všechny síly na těleso působící. Výslednici F pak použijeme v našem vzorci F = m.a. Teoreticky bychom mohli postupovat i opačně. Spočetli bychom účinek každé jednotlivé síly na těleso, dostali bychom jednotlivá dílčí zrychlení. Pak bychom spočetli jejich vektorový součet a dostali bychom výsledné zrychlení. V praxi se téměř vždy postupuje prvním způsobem.
V bodě č. 2 je nakreslen obrázek z bodu číslo č. 1, jenom je trochu pozměněn. Vlákna jsme u obou závaží nahradily silou T směřující směrem vzhůru. Síla T musí být stejná po celé délcevlákna, těžko si umíme představit, že v jedné části vlákna by působila určitá síla a v jiné části síla jiné velikosti. Experiment nikdy nic takového neprokázal. Ještě si je nutné zvolit kladný a záporný směr orientace, abychom v rovnicích správně napsali znaménka u jednotlivých sil. Kdyby každé závaží volně viselo na vlákně upevněném na stropě, tak velikost síly T, která by napínala vlákno je vypočtena vpravo od obrázku č. 2. Je zřejmé, že síla T bude muset být hodnota mezi těmito hodnotami, tj. mezi 49,05 N a 58, 86 N. Uvidíme. V bodě č. 3. je aplikován Newtonův vzorec na naši soustavu. Jelikož v našem případě závaží m2 je těžší než m1, směrem dolů se bude pohybovat závaží m2. Opačným směrem závaží m1. Z rovnic č. 1 a č. 2 jsem spočetli zrychlení a.Výsledný vzoreček je uveden pod č. 4. Po dosazení konkrétních hodnot nám vyšlo zrychlení a = 0,89 m/s2. V bodě č. 5 je proveden výpočet T. Pro jistotu jsme hodnotu T spočetli z obou rovnic. Hodnota nám sice nevyšla zcela přesně stejná, ale malá nepřesnost je důsledkem zaokrouhlování na dvě desetinná místa.
Fyzika je především o interpretaci výsledních vzorců. Podívejme se ještě jednou na výsledný vzorec pro zrychlení a v bodě č. 4. Co z něho lze ihned vyčíst? Pokud m2 = m1, v čitateli bude 0, čímž výsledné zrychlení bude rovněž 0. Pokud se rozdíl mezi m2 a m1 bude zvětšovat, zlomek bude mít větší hodnotu, tj. i zrychlení bude větší. Zkuste si z cvičných důvodů spočíst případ, kdy závaží m1 bude těžší než m2.
Další dva příklady jsou z kvantové mechaniky, což je mechanika částic mikrosvěta. Heisenbergův princip neurčitosti tvrdí, že v tomhle světě součin neurčitosti v poloze částice a její neurčitosti v hybnosti (m.v) je vždy alespoň tak veliký jako h/2pí. Konstanta h je Planckova konstanta. Je velice malá, dokonce tak malá, že si její mrňavost neumíme reálně představit. Pokud si představíme, že neurčitost určení polohy tělesa by byla velice malá, blížila by se nule, tj. dokázali bychom polohu mikročástice určit velice přesně, tak bohužel přesnost určení její hybnosti, součinu m.v, se bude blížit nekonečnu, to znamená, že nedokážeme vůbec změřit její rychlost. Přesněji, i když ji změříme, moc nám to nepomůže, jelikož výsledek bude zcela nepřesný. Smutné. V klasické mechanice, tak jak ji známe ze školy, nás nic takového neučili. Tam se vychází z předpokladu, že když známe v určitém čase přesnou polohu tělesa v prostoru a jeho rychlost (coby vektor) a síly (opět coby vektory), které na těleso působí dokážeme spočíst jeho polohu naprosto přesně v jakémkoliv čase v budoucnosti, stejně jako jeho rychlost. Ideální klasický svět je tedy deterministický. Kvantový se chová kapánek jinak. Ovšem mělo by platit, že když aplikujeme kvantové zákony na náš pozemský svět, měly by fungovat také, ovšem s tím, že taková aplikace nemá žádný praktický význam. Opačně to ale neplatí. Vše si ukážeme na dvou příkladech. Oba jsou spočteny na druhém obrázku.
Opět vše, co potřebujeme znát, je uvedeno pod č. 1. Zadání prvního příkladu na zmíněný princip je uvedeno v bodě č. 2. Známe rychlost elektronu, kterou umíme změřit s 0,1 % přesností, což je v mikrosvětě docela slušná přesnost. Ptáme se s jakou přesností umíme změřit polohu elektronu při uvedené rychlosti a nepřesnosti jejího měření. Vyšlo nám, že s přesností 116 nm (nanometrů). Uvažujíce průměr atomu roven dvěma Bohrovým poloměrům a1, vyšlo nám, že přesnost určení polohy elektronu je přibližně 1100 průměrů atomu. Takovou velikou analogii nepřesnosti měření si neumíme v našem pozemském světě na běžné pozemské objekty až tak lehce představit. Přesto alespoň hrubý příklad na tuhle nepřesnost. Máme změřit vzdálenost brněnského Hlavního nádraží od těžiště hráze Brněnské přehrady. Naším výsledkem by bylo, že nádraží leží možná v Bytrci, ale možná také v Husovicích nebo v Heršpicích anebo dokonce v Pohořelicích. Za takový zeměměřičský výkon by nás asi nikdo nepochválil. Ještě k detailům výpočtu, hmotnost elektronu i Bohrův poloměr je uveden v běžných fyzikálních tabulkách. Při výpočtu nepřesnosti hybnosti (m.v) jsme hodnotu m.v dělili proto 103, neboť nepřesnost 0,1 % se nachází ve 100 % právě 1000 krát. V druhém příkladu na zmíněný princip se přeneseme na fotbalové hřiště.
V druhém příkladě budeme počítat nepřesnost určení polohy fotbalového míče podle Heisenbergova principu neurčitosti při rychlosti 100 km/hod, což je přibližně 28 m/s. Nepřesnost měření rychlosti ať je dost veliká ± 1 m/s, takže 2 m/s. Hodnoty poloměru průměrného fotbalového míče i jeho hmotnost máme uvedenou v zadání příkladu. Pro fotbalové laiky dodejme, že podle pravidel fotbalu rozměr míče, jeho hmotnost, jakož i rozměr hřiště mají povolenou poměrně velikou toleranci. Nepřesnost měření polohy míče nám vyšla naprosto zanedbatelná: 1,23.10-34 m, což při průměru fotbalového míče 22 cm nestojí ani za řeč, takže polohu míče umíme změřit z pohledu našich pozemských měřítek více než na nanochlup přesně. To vše za podmínky, že rychlost umíme měřit s přesností ± 1m/s. Zkuste si spočíst nepřesnost měření polohy míče při nepřesnosti měření rychlosti ± 1mm/s, což je nepřesnost 0,002 m/s. Mně vyšla 1,23.10-31 m. Nepřesnost určení polohy míče je horší než při nepřesnosti ± 1m/s, ale beztak žádný pozemský přístroj takhle přesně polohu míče neumí změřit. Heisenbergův princip neurčitosti neboli kvantový indeterminismus platí i pro náš pozemský svět, ale jeho aplikování na věci a jevy vnímáme smysly nás moc trápit nemusí.
Naše tři příklady nám snad ukázali, že exaktní vědy mají velikou výhodu v tom, že zkoumají relativně jednoduché objekty. I operace, které se na objekty aplikují, nejsou o nic složitější. Pochopitelně matematika má ještě jednu velikou výhodu, že většina tvrzení je dokazatelná a dokázána. Fyzika je na tom o něco hůře. Důkazy nestačí, vše musí potvrdit experiment, jinak je jakékoliv tvrzení jenom bohapustá domněnka. V humanitních vědách je situace podstatně složitější. Je tam často přímo nemožné pracovat s kvantitativními veličinami. Zkuste matematizovat např. psychologii, etiku, teologii, filozofii. Jeden takový slavný veliký pokus v dějinách učinil René Descartes (1596-1650), bohužel jeho pokus dopadl zákonitě katastrofálně. Kdyby tvořivost a inteligenci svého génia věnoval cíleně matematice a fyzice byl by téměř jistě dosáhl mnohých vynikajících výsledků. Takto zůstalo jenom u propojení algebry a geometrie do jednoho celku zvaného analytická geometrie. Tento veliký objev učinil v mládí, koncem roku 1619. Sice pak až do roku 1628 se věnoval matematice a fyzice, ale to již byla příprava na matematisaci humanitních oborů a medicíny. Zbytek života doslova promrhal snahou o matematizaci těchto věd. Kdybychom mu uvěřili, tak naše mysl a tělo by byly od sebe naprosto oddělené, nekooperující objekty, svět kolem nás by neexistoval a fyzikální příčinnost by také vzala za své.
Špičkových výkonů v humanitních oborech se lidstvu na rozdíl od věd exaktních dostává pramálo, proto je tak ctím. Často uplynou celá staletí a nic, jenom rádoby učené kdákání o tom, co již bylo vytvořeno. Bohužel i naše současnost je jenom kdákající. Zoufale čekáme na nového Tomáše Akvinského nebo Immanuela Kanta. Věřme, že to čekání se neprotáhne na další staletí.
V Brně 19. října 2014.