Délka oblouku názorně
Dušan Polanský
Názornost, názornost a ještě jednou názornost to platí pro výuku jakéhokoliv předmětu ve škole či vysvětlování jakékoliv praktické činnosti. Pochopitelně to klade vyšší nároky na učitele potažmo toho, kdo něco praktického vysvětluje.
A tak jsem si řekl, že když už propaguji názornost, že také zase něco názorného z matematiky dám na své stránky. Rozhodl jsme se pro odvození vzorce pro výpočet délky oblouku křivky pomocí integrálního počtu, z čehož plyne, že předpokládám, že čtenář zná elementární základy integrálního a diferenciálního počtu. Stačí úroveň gymnázia či jiné střední školy, kde se elementy tohoto počtu probírají. To, co zde uvádím, nejsou žádné složité výpočty, lze to najít v nepatrně různé podobě v každé učebnici diferenciálního a integrálního počtu. Jediným plusem tohoto textu, kromě zmíněné názornosti, je snad i to, že jsou po ruce všechny potřebné výpočty, takže není potřeba nic vyhledávat, listovat, či dumat jak na to. Nemám rád učitele, kteří stále dokola žákům či studentům říkají: Tohle byste měli znát! Není nad pohodlí žáků, studentů či čtenářů!
Na prvním obrázku (číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek) je názorné odvození vzorce pro výpočet délky oblouku, pokud křivka je určená vztahem y = f(x).
Jako praktickou ukázku jsem zařadil snad nejznámější příklad výpočtu délky oblouku, tedy výpočet délky kružnice. Ovšem k tomu, potřebujeme zvládnout některé pomocné výpočty. Ty jsou na druhém obrázku.
Na třetím obrázku je vlastní výpočet délky kružnice. Postupujeme tak, že spočteme pouze délku kružnice v prvním kvadrantu, tedy když hranice oblouku jsou od x = 0 po x = r. Tento výsledek vynásobíme čtyřmi, a je hotovo.
Možná některý čtenář si poví, že jsem mohl spočíst alespoň délku elipsy, když kružnice je již tak okoukaná. Problém, je že výpočet délky elipsy vede k výpočtu tzv. eliptických integrálů, což není sice látka až tak složitá, ale je náročná na rozsah výkladu. Zvídavému čtenáři doporučuji sáhnout po podrobnější učebnici integrálního počtu, tím ale automaticky nevylučuji, že se k tomuto tématu jednou nevrátím. Ovšem to asi nebude na střípek, ale spíš na ucelenější text. A to je vše.
V Brně 26. srpna 2022.