Pizza, krabice, koule ...
Dušan Polanský
Je zvykem dělit matematiku do úrovní podle složitosti používaného aparátu a náročnosti výpočtů. Obvykle se pak dělí na základní, středoškolskou, vyšší, myšleno přednášenou na nehumanitních vysokých školách a čistou matematiku, ta poslední je převážně doménou profíků, tedy matematiků z povolání. Přiznám se, že tomuto dělení příliš nefandím. Pokud jde o aparát budiž, ale míra složitosti je spíš věcí úhlu pohledu, a hlavně jak se věci vysvětlí. Teď abych vysvětlil, co tím vůbec myslím.
Hejsa hopsa do páté třídy
Vnučka chodí do páté třídy základní školy a matematiku nemá za moc oblíbený předmět, čímž ale netvrdím, že ji občas i nebaví. Nakonec ani já ji na základce a střední škole neměl v oblibě. Moji učitelé se totiž poctivě snažili, aby mi ji otrávili. Až na vysoké škole mě začala matematika trochu bavit. Nedávno si u nás vnučka psala úkoly; jeden byl z máti. Zněl:
Zapiš šest různých desetinných čísel pomocí zadaných číslic tak, aby se každá číslice vyskytovala v zápisu čísla nejvýše jednou. Čísla přečti. Pokud jde o číslice byly tam dvě skupiny číslic: (4, 6, 1) a (2, 0, 9).
Kupříkladu u první skupiny číslic vyhovuje řešení např. těchto šest desetinných čísel: 4,61; 46,1; 61,4; 6,14; 16,4; 1,64. Pokud jde o slovíčko nejvýše, pak vyhovuje zadání např. i číslo 4,1.
A několik dnů nato vnučka přinesla odkudsi příklad o pizze, který byl spíš určen pro ty, kterým matematika jde o něco lépe, a tak jsme raději pizzu nechali pizzou a pekli jsme spolu rohlíky, tedy myslím opravdové, k jídlu, ne nějaké matematické. Ale přesto mi to nedalo, a rozhodl jsem se jí tyhle dva příklady po několika dnech vysvětlit v jakési návaznosti. Ovšem to odmítla, že ať to raději dám na své stránky, že si to možná časem přečte. No, budiž, uvidíme, spíš ale nepřečte. Pro pochopení toho, o co vůbec u té pizzy jde, uvedu zadání bez kudrlinek v původním zadání.
Máme 5 ingrediencí, které se mohou dát na základní těsto. Ovšem na jednu pizzu můžeme a musíme použít pouze 3 různé ingredience. Kolik druhů pizzy můžeme upéct? Vypište všechny možnosti.
Zatím ale nechme přípravu pizzy bokem a vraťme se k desetinným číslům. Zkusme si původní zadání trochu zkomplikovat, ať zní takto:
Zapiš všechna desetinná čísla pouze pomocí číslic 4, 6 a 1 tak, aby se každá číslice vyskytovala v zápisu čísla jednou a desetinné číslo mělo vždy dvě desetinná místa.
Řešení se dá v případě třech číslic jistě najít pomocí metody pokusu a omylu. Ovšem zkusme jiný přístup, a to podle určitého pravidla. Dodržíme pravidlo, že číslice budeme obměňovat v pořadí, jak jsou napsaná v zadání, tedy 4, 6 a 1 (mohli bychom zvolit i jiné pořadí číslic) a pokud narazíme na konec, tedy číslici 1, nezačneme opět od počátku, tedy od číslice 4, ale se budeme vracet v opačném pořadí, tedy 1, 6, 4. Tedy v skupině číslic 4, 6 a 1 se budeme pohybovat proti směru hodinových ručiček a pokud již číslice v zápisu desetinného místa je použita, přeskočíme ji a přesuneme se k další číslici ve směru proti pohybu hodinových ručiček. Tento směr se používá hlavně ve fyzice, ale klidně jsme mohli zvolit směr ve směru hodinových ručiček. Za mého mládí se například používal při výpočtech v statice.
Ovšem platí, že za posloupnost vyhovující zadání uznáme pouze takovou posloupnost číslic, která se ještě nevyskytla. Pokud se již vyskytla, tak ji přeskočíme a pokračujeme až do vyčerpání všech možností.
Řešení má těchto 6 možností: 4,61; 4,16; 6,14; 6,41; 1,64; 1,46. Zkusme jiný příklad.
Máme čtyři osoby. Pro jejich snadné rozeznání jsme jim na záda připevnili, podobně jako sportovcům v závodech, čísla 1, 2, 3 a 4. Kolika způsoby je můžeme postavit v řadě za sebou? Jednotlivé případy vypište. Vidíme, že osoby jsou rozlišeny čísly a závisí na jejich pořadí! Opět postupujme při hledání nových posloupností proti směru hodinových ručiček.
Řešení má těchto 24 možností: 1234; 1243; 1342; 1324; 1423; 1432; 2341; 2314; 2412; 2421; 2134; 2143; 3412; 3421; 3123; 3132; 3214; 3241; 4123; 4132; 4231; 4213; 4312; 4321.
Kdyby dotaz zněl jenom na počet možných seřazení, nemuseli bychom se trápit pracným (třebaže ne složitým) vypisováním jednotlivých případů. Představme si, že kdybychom měli vypsat všechny možná řazení pro 5 osob, to bychom se docela dost nadřeli! Tedy pokud bychom neměli k dispozici počítačový program. Začneme u dvou osob. Ty můžeme postavit do řady dvěma způsoby. U třech osob můžeme myšlenkově postupovat tak, že postavíme do čela každou osobu a dvě osoby za ní zařadíme dvěma způsoby, tedy 3 × 2 = 6. U čtyř osob při podobné úvaze to bude 4 × 6 = 24. U pěti osob 5 × 24 = 120 atd.
Způsob seřazení pro n rozlišitelných (rozpoznatelných) prvků, kdy záleží na pořadí těchto prvků se v matematice zove permutace, obvykle se značí P(n), kde n je počet rozlišitelných prvků k seřazení. K dispozici je jednoduchá pomůcka pro výpočet všech takových seřazení. K tomu se využívá operace zvané faktoriál, která se značí vykřičníkem, tedy !. Ta je definovaná takto: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 1.2 = 2, 3! = 1.2.3 = 6, 4! = 1.2.3.4 = 24 atd. Pak platí, že P(n) = n!. Matematicky můžeme náš počet případů napsat tedy takto: P(2) = 2, P(3) = 6, P(4) = 24 atd. Písmeno P zde znamená zkratku slova permutace.
A teď se konečně vrhneme na přípravu pizzy. Jak jsme si již řekli máme 5 ingrediencí, které se mohou dát na základní těsto. Ovšem na jednu pizzu můžeme a musíme použít 3 různé ingredience. Kolik druhů pizzy můžeme připravit?
Co si je dobré předem uvědomit? U ingredienci použitých pro konkrétní pizzu již nebude záležet na tom, jak jsou na těstě seřazené! Tedy zde nebude záležet na pořadí ingrediencí, ale pouze na počtu možných kombinací 3 ingrediencí z 5 ingrediencí. Abychom si to dobře uvědomili, začneme jednodušším případem.
Máme 4 ingredience a na každou pizzu musíme použít 3 různé ingredience. Kolik druhů pizzy připravíme?
Ingredience si označíme čísly 1, 2, 3 a 4. Opět dodržíme pravidlo pohybu proti směru hodinových ručiček! Řešení pak je: (1, 2, 3) (1, 2, 4) (2, 3, 4) (3, 4, 1). Tedy za těchto podmínek můžeme připravit 4 druhy pizzy.
A teď konečně případ, kdy máme 5 ingrediencí. Opět si ingredience označíme čísly: 1, 2, 3, 4 a 5. Opět při vypisování všech možností budeme důsledně dodržovat pravidlo pohybu proti směru hodinových ručiček!
Řešení: (1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 2, 5) (2, 3, 4) (2, 3, 5) (2, 4, 5) (3, 4, 5) (3, 4, 1) (5, 1, 3) (5, 1, 4). Tedy za těchto podmínek můžeme připravit 10 druhů pizzy.
Je opět otázkou, zda matematici na počet určení počtu kombinací k prvků z n prvků mají nějaký jednoduchý vzorec. Mají, a opět využívá operaci faktoriál. Tady je: K(n, k) = n!/(k!(n -k)!). Pro náš první případ výpočet dá: K(4, 3) = 4!/(3!(4 -3)!) = 4!/(3!1!) = 24/6 = 4 druhy pizzy. Pro druhý případ: K(5, 3) = 5!/(3!(5 -3)!) = 5!/(3!2!) = 120/12 = 10 druhů pizzy. Písmeno K zde znamená zkratku slova kombinace, n je počet všech ingrediencí a k počet ingrediencí použitých na přípravu jedné pizzy.
Hejsa hopsa do teoretické fyziky
Prakticky bychom to již mohli zabalit a jít někam na pizzu, kterou já moc nemusím. Jedl jsem ji cca třikrát v životě, třebaže jsem ji i několikrát upekl. Jenomže my na pizzu zatím nepůjdeme, ale uděláme si výlet dokonce do teoretické fyziky. Co na tom, že jsme v páté třídě na základce. Trochu si budeme malovat krabice a kuličky a trochu i počítat.
U těch výpočtů se předem páťákům omlouvám, v jednom vzorečku bude totiž figurovat mocnina, což je operace, která se v páté třídě nebere. Ale je to docela snadná operace. Představme si, že máme spočíst součin 2.2.2.2.2, výsledek je 32, ale ten zápis s pěti 2 vypadá hrozně. Matematici tento výraz zapíšou jednoduše takto 25. 2 je základ a 5 je exponent. Zkuste si spočíst tuhle mocninu: 34. Pokud by vám mocnina dělala problém, zkuste o pomoc požádat staršího sourozence nebo kamaráda, potažmo někoho z rodičů.
U našeho povídání potkáme i s jmény několika fyziků, a nebudou to žádná ořezávatka. Jsou to: James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann, Šatendranáth Bose, Albert Einstein, Enrico Fermi a Paul Adrien Maurice Dirac. A teď hurá do toho!
Představme si, že máme tři prázdné krabice a dvě koule. V prvním příkladu ať jedna koule je bílá a druhá černá, tedy koule umíme rozlišit. V jedné krabici mohou být obě koule nebo jenom jedna. Kolik je možností (ve fyzice se každé možnosti říká stav), jak koule do krabic rozmístit. Protože koule máme jenom dvě a krabice tři, je logické, že musí nastat situace, kdy buď jedna krabice bude prázdná, nebo dvě krabice prázdné. Tři prázdné krabice nemají pro nás žádný význam, je to nic.
Na obrázku níže vidíte řešení, i kontrolu počtu možností vypočtenou vzorečkem, ten používá již zmíněnou mocninu.
V druhém příkladu pravidla budou stejná, jenomže obě koule budou bílé, tedy stejné. Řešení i s kontrolním vzorečkem je na obrázku níže.
V třetím příkladu budou pravidla nejpřísnější. Koule budou opět stejné, a navíc v jedné krabici může být pouze jedna koule. Řešení i s kontrolním vzorečkem opět vidíte na obrázku níže.
K čemu tyhle podivné hrátky? Budete se divit, že pro fyziku mikročástic mají veliký význam. Svět mikročástic si představte jako svět s obrovskými počty atomů, a možná víte, že kolem jádra atomu krouží ještě elektrony. Možná jste také slyšeli o fotonech, což jsou základní částice světla. Nemluvě o tom, že hustota atomů a fotonů je obrovská, takže nějaké počítání jako v bance s penězi nepřipadá vůbec do úvahy. Navíc jak chcete v mikrosvětě stíhat rozlišit (rozpoznat) jednu částici od druhé, když je jich požehnaně a za normálních teplot se neustále pohybují obrovskou rychlostí!
Fyzikové jsi jednotlivá pravidla podle kterých částice v mikrosvětě fungují i pojmenovali. Pojmenování jsem dal i do nadpisu jednotlivých obrázků.
Případ, který jsme řešili v prvním příkladu se zove Maxwell–Boltzmannovo rozdělení. Fungují podle něj například molekuly, tedy např. plyn všude kolem nás. Učeně řečeno, molekuly plynu se řídí Maxwell–Boltzmannovým rozdělením. Popravdě vzduch, což je plyn, kolem nás to není ještě ten pravý mikrosvět, ten začíná až na atomární úrovni. Možná jste již slyšeli , že atom je tvořen jádrem, kolem kterého obíhají elektrony. No a molekuly vznikají spojením několika atomů podle určitých pravidel. Další dvě rozdělení již fungují v mikrosvětě.
Druhé rozdělení, viz náš druhý příklad, se zove Bose–Einsteinovo rozdělení. Podle něj fungují tzv. bosony. Bosony mají celočíselný spin (0, 1, 2, ...), což je jakýsi vnitřní moment částice; velice přibližně si jej lze představit (fyzikové nás za toto zjednodušení nepochválí) jako otáčející se káču. Tímto rozdělením se řídí např. fotony, což jsou základní částice světla.
Třetí je Fermi–Diracovo rozdělení. Podle něj fungují částice, které mají poločíselný spin (1/2, 3/2, 5/2 ...). Tyto částice se zovou Fermiony, takovou částicí je např. elektron.
Pokud vás tahle problematika zajímá více, zkuste si další informace časem, ale to vůbec nespěchá, rok žádná míra, vyhledat na internetu potažmo zkusit přečíst třetí část mého povídání, což je takový malý vhled do problematiky elektronového obalu.
Pokud si moje povídání přečetl opravdu nějaký páťák, a pokud asi všemu neporozuměl, ať si z toho nic nedělá, nakonec těžkou hlavu mají z těchto rozdělení nejednou i studenti vysokých škol. Ale to nic, důležité je, aby ho to alespoň trochu inspirovalo k dalšímu zájmu o matematiku nebo fyziku. V neposlední řadě jsem napsal text i pro ilustraci toho, že škatulkování matematiky podle typu školy může být někdy docela ošidné.
Něco i pro dříve narozené
Poznali jsme, že částice na atomární úrovni, na rozdíl od molekul plynu, si nemohou dělat co chtějí, musí se podřídit určitým pravidlům. V pokročilejších učebnicích fyziky nebo v populárních povídáních o atomové fyzice určitě narazíte na tvrzení, že v konkrétním kvantovém stavu popsaném určitými kvantovými čísly může být nejvýše jeden elektron. Tomuto se říká Pauliho vylučovací princip. Pokud jde o elektronový obal tento princip se někdy uvádí specifičtěji i takto: V každém orbitalu mohou být nanejvýš dva elektrony, lišící se svým spinovým kvantovým číslem s. Nojo, co to ale jsou ty kvantová čísla, orbitaly, spiny?
Orbital je prostor, popravdě dost neurčitý, něco jako mlhovina, kde si spokojeně „poletují“ elektrony. Každý atomový orbital je určen třemi kvantovými čísly: hlavním kvantovým číslem (n), vedlejším kvantovým číslem (l) a magnetickým kvantovým číslem (m). Mezi těmito čísly jsou pevné vztahy. Kupříkladu když n = 2, tak l může mít pouze hodnoty 0 a 1, a magnetické číslo pro n = 2 a l = 0 pouze hodnotu 0, pro n= 2 a l = 1 má m tři hodnoty +1, 0, –1. No a pro každou ze čtyř uvedených hodnot m, tedy 0, +1, 0, –1 spin s může mít hodnoty + 1/2 nebo -1/2. Spin se populárně vysvětluje jako „otáčení se“ elektronu ve směru pohybu hodinových ručiček nebo přesně naopak. Tedy pro jeden směr je s = + 1/2, pro ten opačný s = – 1/2. Takže celkem může ve vrstvě (hned vysvětlím) dané kvantovým n = 2 poletovat 8 elektronů.
Všechny orbitaly o stejné hodnotě kvantového čísla n řadíme do jedné elektronové vrstvy. Obvykle se tyto vrstvy značí velikými písmeny: K, L, M, N, O, P a Q nebo čísly 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7. V našem příkladě, kdy n = 2 šlo o vrstvu L nebo 2, a aby to nebylo až tak jednoduché vrstvy mají hladiny, v našem příkladu jsou dvě 2s a 2p. Hladina 2s je určena kvantovými čísly s hodnotami n =2 a l = 0, na ní mohou být maximálně 2 elektrony. Hladina 2p je určena kvantovými čísly s hodnotami n =2 a l = 1, na ní může být maximálně 6 elektronů. Protože 2 + 6 = 8, to je těch našich 8 elektronů.
Pro větší názornost obsazení orbitalů elektrony je vše na obrázku níže. Jinak v každé učebnici chemie lze nalézt podobný obrázek. Obvykle je rozšířený i o hodnoty n = 3 a n = 4.
Raději již těchto podivných, třebaže logických, hrátek necháme. Koneckonců nešlo mi o nic jiného, než ukázat, že určité pravidla neplatí jenom pro náš příklad s pizzou, ale i v mikrosvětě. Ne náhodou se podobným počtům, kdy hledáme, kolik je možností vytvoření určitých skupin nějakých prvků za platnosti určitých pravidel, v anglicky psané matematické literatuře říká counting, tedy počítání (možností). A to je již opravdu vše.
V Brně 13. dubna 2022.