Přímka klesá, nebo stoupá?

Dušan Polanský

Na matematiku ani fyziku opravdu talent nemám, třebaže někdo méně erudovaný v těchto naukách si to podle některých mých textů myslet může. Nikdy mi to ale extra nevadilo, je to stejné jako se sportem nebo jinou zálibou. Mnoho lidí se baví něčím, na co příliš talentu nemá a přitom jim dotyčná činnost poskytuje radost a současně i určitý druh odpočinku. Jak s oblibou říkám, každý nemůže kopat první ligu, jsou i krajské, okresní a místní přebory. A kdo nestačí ani na místní přebor, může si zahrát fotbal s kamarády na plácku. U matematiky a fyziky, ale i jiných školských předmětů, je nedobré, pokud je učí učitel, který látku neumí vyložit lopatistickým způsobem. Bude to asi tím, že člověk umí vyložit jednoduše a jasně jenom to, co zná poctivě do hloubky. Takový antiučitel vypěstuje u nejednoho žáka či studenta spolehlivý odpor k jeho předmětu. Žáci či studenti, kteří nejsou schopni se látku sami doučit, pak si myslí, že nemají na ten či onen předmět talent. Pravda to může být, ale když vám někdo lopatisticky vyloží jakoukoliv složitou teorii, tak to pochopí i netalentovaný člověk. To je i hlavní důvod proč vědci neradi píšou lopatisticky, tedy když si odmyslíme lenost a pohodlnost. Aureolu a výjimečnost vzdělance je potřeba chránit jako oko v hlavě.

Již je to nějaká doba, co jsem si v tramvaji nechtěně vyslechl živý rozhovor dívky a chlapce o písemce z matematiky. Odhadnul jsem je na první ročník střední školy. Taková studentská klasika: Ten příklad byl blbý, ten šel, tomu jsem vůbec nerozuměl(a). Z rozhovoru jsem poznal, že dívka je na tom se zvládnutím látky o něco lépe než spolužák. Zaujala mě úvaha studenta kolem přímky: "Jak mám poznat, zda přímka klesá nebo stoupá? To je věc názoru, když přímka míří takhle - nakreslil rukou stoupající přímku zleva doprava - a já budu po ní coby turista šlapat zleva doprava, tak stoupá, když půjdu opačně, tedy zprava doleva, tak klesá, přece jdu z kopce." Dívka mu hned dala jednoduchý návod, jak poznat stoupání nebo klesání přímky: "Když je směrnice kladná, tak stoupá, když je záporná, tak klesá. Nad tím vůbec nepřemýšlej!"

Kdo si ještě ze školy něco o přímce pamatuje, dá dívce jistě za pravdu, ale kluk uvažoval o problému hlouběji než ona. Myslel matematicky, jenom úvahu nedotáhnul. Ani nevím už proč, ale na zmíněný rozhovor jsem si nedávno vzpomněl. A tak jsem k pochopení toho, o čem si povídali dva mladí studenti nakreslil obyčejnou tužkou a pravítkem obrázek. Na prvnín nákresu jsou nakresleny čtyři přímky. U každé je uvedena rovnice, kterou je přímka popsána v analytické podobě. Schválně jsem u přímek y = 2x + 1 a y = -6/5x + 6 nenakreslil orientaci, přesně jak se nedokázal rozhodnout náš mladík. U přímky y = 3 je to jasné, je vodorovná. U přímky x = 4 je těžko říct, zda přímka stoupá nebo klesá.

V našem pokusu o vysvětlení problému mladého studenta vystačíme s dvěma tvary rovnice přímky. S rovnicí ve tvaru y = kx + q, kde přímka je dána směrnicí k a bodem, kde přímka protíná osu y; jeho souřadnice jsou (0,q). Druhý tvar je rovnice přímky, kdy známe její dva body, kterými přímka prochází: (x1,y1), (x2,y2). Vlastně je to málem stejný tvar rovnice jako první, stačí si uvědomit, že zlomkem (y2 - y1)/(x2 - x1) je definovaná směrnice, tedy veličina, která charakterizje nejen směr stoupání nebo klesání, ale i orientaci přímky. Oba vzorce jsou napsány vpravo vedle prvního nákresu. Jenom pro zajímavost, v anglické literatuře se pro směrnici používá výstižně výraz slope, tedy sklon. Občas ho použijeme i my.

Základní myšlenka zjištění zda přímka stoupá nebo klesá, jinak úvaha platí pro jakoukoliv křivku, je prostá: pokud se přesuneme v kladném směru osy x o určitý kousek doprava a bude-li přírůstek na přímce ve směru osy y kladný, přímka stoupá, pokud záporný, tak klesá. Přírůstek na ose x mohu zvolit libovolný, ale kvůli jednoduchosti výpočtů je vhodné jej zvolit 1. Pochopitelně úvahu lze napsat i opačně, ve směru záporné osy x; tj. pokud se přesuneme o určitý kousek po ose x doleva a bude-li přírůstek na přímce ve směru osy y záporný, přímka stoupá, pokud kladný, tak klesá. Ale z hlediska názoru je pochopitelnější první možnost, u té také zůstaneme.

Teď to vemem prakticky. Podívejme se na první přímku: y = 2x + 1, viz druhý náčrt. Spočteme si y-ové souřadnice přímky pro dva body na ose x, zvolili jsme x1 = 1 a x2 = 2. Když tyto x-ové hodnoty dosadíme do rovnice přímky vyjdou nám y-ové souřadnice y1 = 3 a y2 = 5. Jejich rozdíl bude y2 - y1 = 2. Řečeno jazykem mladíka, když se posuneme vodorovně o jednotku délky, vertikálně vystoupáme o dvě jednotky. Když se podíváme na rovnici přímky, číslo 2 v ní není jenom tak, je to právě číselné vyjádření míry onoho stoupání. Protože kladné znaménko není zvykem psát, je tam jenom číslo 2, kdyby to zvykem bylo, tak tam bude +2. Znaménko + říká, že přímka stoupá, to znamená, že směrnice současně definuje i orientaci přímky.

Druhý příklad s přímkou y = - 6/5x + 6, viz třetí náčrt, již zvládneme bez podrobného výkladu. V tomto případě přímka klesá, což je vyjádřeno poklesem y-ových hodnot na jednotku vodorovné délky o -6/5. A opět to nění náhoda, že tohle číslo se vyskytuje v rovnici přímky. Je vyjádřením nejenom míry klesání na jednotku délky, ale znaménko - současně určuje orientaci přímky. Takže i dívka měla pravdu.

Druhý tvar rovnice přímky, kdy známe její dva body (x1,y1), (x2,y2), kterými přímka prochází, jsme zatím prakticky nepoužili. Uvedli jsem si jej proto, že na výrazu (y2 - y1)/(x2 - x1) je hezky vidět myšlenku způsobu výpočtu míry stoupání nebo klesání, tedy sklonu. Zkusme sklon vypočíst pro vodorovnou a vertikální přímku. Na vodorovné přímce y = 3 si zvolíme opět dva x-ové body vzdálené o 1. Jak se změnily y-ové souřadnice přímky? Nijak, jsou stále stejné. Poměr nám vychází 0/1, což je 0. Výsledek sedí, ani nestoupáme ani neklesáme. Horší dopadneme s vertikálou x = 4. Zvolit dva x-ové body vzdálené o jednotku se nám nepovede, jelikož x-ové body mají jednu a tutéž hodnotu rovnou 3. V jmenovateli dosadit dvě stejné souřadnice lze, ale dělení nulou není definováno. V tomhle případě míru stoupání ani klesání neumíme spočíst, proto ji ani nedefinujeme. Možná je to tím, že nebe a peklo musí bý v rovnováze a jsou ve vertikále. Jenomže co je dole a nahoře ve volném vesmíru? S matematikou je to jako s životem, téměř vždy narazíme na nějaký zádrhel, nějakou výjimku či nepravidelnost.

Ještě je jeden důvod, proč jsme napsali druhý tvar rovnice přímky, kdy známe její dva body (x1,y1), (x2,y2), kterými přímka prochází. Když si připomeneme úvahu mladíka ohledně orientace přímky, přímo se nám vnucuje otázka: Je důležité jak oba x-ové body v rovnici zvolíme z hlediska pořadí, to jest musí být na ose x souřadnice x1 před x2, nebo je jedno, zda je x1 před nebo za x2? Oba body můžeme zvolit libovolně, kdyby tomu tak nebylo, musel by být definován i předpis, který by určoval pořadí bodů, např. takto: X-ová souřadnice bodu x1 musí být menší než x2! Vidíme, že žádný takové upřesnění není u rovnice přímky napsáno. Zkusme si vše ověřit na přímce y = 2x +1. Uvidíme, zda nám vyjde sklon opět 2, když v poměru (y2 - y1)/(x2 - x1) body x1 a x2 schválně prohodíme. Takže ať bod x1 = 2 a bod x2 = 1. Pro bod x1 = 2 nám vyjde odpovídající y-ová souřadnice y1 = 5, pro x2 = 1 je y2 = 3. Poměr (y2 - y1)/(x2 - x1) = (3 - 5)/(1 - 2) = -2/-1 = 2. Je opravdu jedno, jak jsme body na přímce zvolili, její sklon a orientace se nezměnily.

V Brně 4. června 2014.

Dovětek z 24. 7. 2018.  Hezkou ukázkou využití výše uvedené látky je lineární interpolace. O co jde? Známe hodnotu yo pro bod xo a hodnotu y1 pro bod x1. Ptáme se, jaká bude hodnota y pro libovolný bod mezi x ležící mezi body xo a x1 za předpokladu, že bod y leží na přímce spojující body (xo,yo) a (x1,y1). Jak se ke kýženému obrázku dopracovat, by mělo být zřejmé z obrázku.

Domů | Prolog 2001: Vesmírná odysea | Nejen básně v próze | Střípky