Rozhledna Holedná a gravitace
Dušan Polanský
Prolog téměř bez fyziky
V Brně máme novou ocelovou vyhlídkovou rozhlednu, leží mezi Komínem a Jundrovem na kopci zvaném Holedná, takže i rozhledna se jmenuje Holedná. Vyhlídková plošina je ve výšce 34,30 m, vřetenové ocelové schodiště má 209 schodů, pater je 13, mezi patry je vždy odpočívadlo. Pokud chcete vidět, jak vypadá, podívejte se na internet.
Krátce po jejím otevření jsem s vnoučaty vyrazil na Holednou z Bystrce přes les směr Komín. Nejen se podívat, ale pochopitelně vyšlapat až na vyhlídkovou plošinu. Vše proběhlo v pohodě, ale po sestupu jsem chtěl nejmenšího vnoučka u rozhledny vyfotit, aby vynikl značný výškový rozdíl, ale ten rozhodně odmítl, že teď nemá na tohle vůbec čas, že bude dělat dubánek, protože objevil prý „vynikající“ pařez. Pokud nevíte, co dubánek je, tak vězte, že to se v lese najde starší polorozpadlý pařez s nějakou tou dírou, no a děti udělají z toho, co v lese najdou, nábytek a stříšku, prostě takový malý lesní domeček.
Starší vnouček si po návratu na zem rozhlednu z žabí perspektivy umně prohlížel, a posléze, dobře si pamatujíc, co jsem mu kdysi povídal o gravitaci, mi navrhl nebezpečný fyzikální pokus. „Dědo, vynes úplně nahoru veliký kámen a malý kamínek, oba je současně nechej padat dolu, a já se budu tady dívat, zda dopadnou na zem současně.“ Vysvětlil jsem mu, že při velkém počtu návštěvníků kolem rozhledny to není moc dobrý nápad, a že by to beztak bylo zbytečné, jelikož by dopadly málem stejně, jelikož naprosto stejně by to bylo pouze ve vakuu. „To je tedy divné, tomu vůbec nevěřím,“ ozval se za mnou starší ženský hlas. Otočil jsem se. Za námi stála starší paní s manželem, již důchodci, pravděpodobně čekali na návrat vnoučat z vyhlídky. Manžel se na mě lehce usmíval, a jakousi tajemnou mimikou naznačoval, že se mýlím, že pravdu má jeho manželka. Jelikož jsem byl v dobré náladě, v žádném případě jsem se nedal do fyzikálního přesvědčování, ale jenom lehce jsem opáčil: „Poptejte se vnoučat, pokud již mají ve škole fyziku. Určitě vám vysvětlí, že ve vakuu bude stejně rychle padat pírko i ocelová koule.“
Starší vnouček, druhák, tiše pronesl směrem k manželům, řekl bych že až zasněně, jediné slůvko: gravitace. Význam tohohle slovíčka jsem mu vysvětlil ještě dříve, než začal chodit do školy. Poté jsem již v diskuzi s manželským párem nepokračoval, raději jsem se dal přesvědčovat mladšího vnoučka, aby stavby dubánka nechal, jelikož to začalo vypadat, že by nás mohl chytit déšť. Také že neposlechl, neboť dobře ví, že děda mu dovolí vše, a tak jsme nakonec zmokli a přišli domů od bláta jako malá prasátka.
A pointa s trochou středoškolské fyziky
Po tak dlouhém prologu se sluší vysvětlit, proč opravdu ty dva šutry dopadnou na zem za stejnou dobu. Za vše může Newtonův gravitační zákon a ještě jeden Newtonův zákon, který říká, že velikost síly udělené tělesu o hmotnosti m je dána součinem hmotnosti tělesa a zrychlením, kterou mu síla udělí, tedy že platí F = ma. Na obrázku č. 1 (číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek) je vše vysvětleno a spočteno. Zcela na konci je spočteno i zrychlení, kterým oba kameny dopadnou na povrch Země. Jenom dodejme, že výška rozhledny je vůči poloměru Země malá, takže jsme při výpočtu jednoduše počítali s poloměrem Země, třebaže šutry by byly vypuštěny z vyhlídkové plošiny. Dále z teorie gravitace (či už Newtonovy, nebo i z obecné teorie gravitace) je známo, že vzdálenost dvou homogenních koulí při výpočtu jejich vzájemného gravitačního působení je potřeba uvažovat od jejich středů, tedy představit si, že veškerá hmota homogenní koule je soustředěna v jediném bodě tělesa, přesně v jeho středu. Tenhle poznatek se odvozuje v základním kurzu fyziky na vysoké škole. A do třetice, jelikož Země není přesná koule a otáčí se, takže zde působí i další síly (odstředivá a tzv. Coriolisova síla), tak fyzici se již dávno domluvili, že při výpočtech budou pracovat s tzv. normálním tíhovým zrychlením, jehož hodnota je 9,806 65 ms-2 přesně. Ve výpočtech se obvykle používají tři přibližné hodnoty: 9,80; 9,81 a 10. A dodejme, že ve fyzice se tíhové zrychlení Země značí písmenem g.
Abychom si nějaký výpočet s padáním tělesa z naší rozhledny mohli ukázat, potřebujeme znát vzorečky pro rovnoměrný zrychlený pohyb, jelikož právě tento typ pohybu vykoná těleso padajícím volným pádem z vrcholu rozhledny, g se totiž v námi uvažované situaci nemění. Je to typická středoškolská látka. Odvození dvou základních vzorečků označených v kroužku čísly 1 a 2 vidíte na obrázku č. 2. Je tam pro formální úplnost uveden i vzoreček označený nulou, tedy že x = x0 + vt. Ovšem tento vzoreček při volném pádu je nepoužitelný, jelikož rychlost se s časem v důsledku tíhové zrychlení mění. Přesněji: rychlost pádu se postupně zvětšuje. Indexem 0 značíme počáteční polohu x0 a počáteční rychlost v0 tělesa při jeho vypuštění z vyhlídkové plošiny rozhledny. V našem nevykonaném pokusu by byly obě nulové, jelikož vzdálenost měříme odshora směrem dolů a těleso bychom nechali padat po vypuštění z nehybně natažené ruky.
Odvození vzorečků č. 1 a č. 2 je provedeno dvěma způsoby, první je určen pro ty, co neznají základy integrálního počtu, druhý pro ty, co je znají. Dodejme, že v prvním odvození pruhem nad písmenem je označena průměrná hodnota příslušné veličiny. Ti, co mají s pochopením jednoho nebo druhého způsobu odvození, ať přijmou vzorečky č. 1 a č. 2 jako výchozí fakt.
Ve školských příkladech je běžné, že se počítají velikosti různých veličin při zadaných jiných veličinách a jejich konkrétních hodnotách. Na obrázku č. 3 jsou odvozeny další vztahy pro rovnoměrně zrychlený pohyb, konkrétně pro v2 a x – x0. Odvození je pokaždé uděláno tak, že ze základního vzorečku č. 1 odvodíme vzoreček pro veličinu ve vzorečku vystupující, a tento dosadíme do vzorečku č. 2, čímž nám ve vzorečku č. 2 tahle veličina již nevystupuje. Poté provedeme malé algebraické úpravy, ty jsem vypustil, a příslušný vzoreček je na světě. Tímto máme 5 základních vzorečků pohromadě.
Konečně jsme se dopracovali k tomu, že si můžeme ukázat nějaký ten výpočet spojený s naší rozhlednou. Dodejme, že výšku rozhledny budeme uvažovat 35 m. Na obrázku č. 4 jsou spočteny 3 jednoduché příklady.
V prvním se ptáme, za jak dlouho těleso bez ohledu na svoji hmotnost dopadne na zemský povrch.
V druhém se ptáme, jak daleko dopadne za 1 sekundu. Vidíme, že podle výpočtu je to přibližně 5 metrů. Opět bez ohledu na hmotnost tělesa, takže ve vakuu by i ono pověstné pírko a např. jablíčko padaly stejně rychle, tedy za první sekundu pádu by urazily přibližně 5 metrů. Ovšem za další sekundu by to již bylo více, jelikož se jedná o zrychlený pohyb. Jak to spočíst? Jednoduše dosaďte za t do vzorečku 2 s, a pak odečtěte od spočtené vzdálenosti vzdálenost uraženou v první sekundě.
A třetí příklad je klasický. Ptáme se, jaká bude rychlost tělesa při dopadu na zemský povrch. Vidíme, že docela slušná.
V našich příkladech jsme si zvolili za kladnou orientaci od vyhlídkové plošiny k povrchu zemskému, takže nám v druhém příkladu vyšlo přibližně + 5 metrů. Ovšem nastanou situace, kdy na zvolené orientaci dost záleží. Typickým školským příkladem, kde je důležité důsledně pracovat s orientací, je příklad na svislý hod míče do výšky. Na obrázku č. 5 je příklad spočten. Protože jsem orientaci zvolil tak, že směr + je nahoru a – směrem dolů, i zrychlení g musí mít zápornou hodnotu. Proto nylo nutné přepsat i naše vzorečky do správného tvaru, tedy uvažovat, že a = -g. Jak je vidět, výpočty zafungovaly dobře.
Výsledky by nás neměly příliš překvapit, jelikož těch 10 m-2 je približně hodnota tíhového zrychlení Země. Jenomže tentokráte působí směrem nahoru, a jak vidíme, opět přibližně za 1 s dosáhne míč přibližně výšky 5 m. Připomeňme si, že také v případě rozhledny naše šutry padající volným pádem urazily za první sekundu vzdálenost přibližně 5 metrů.
No a tím jsme u konce našeho povídání a několika výpočtů. Pokud vás moc neoslovily, nic se neděje, pro běžný život beztak nemají valný význam. Ovšem výlet na Holednou vám vřele doporučuji, z výšky 35 metrů si užijete krásného panoramatické výhledu na velikou část Brna, no a pokud budete mít s sebou i malé děti, ty si mohou v lese postavit i nějaký ten dubánek.
V Brně 10. června 2021.