Jak je těžký vzduch ve vinotéce?
Dušan Polanský
Jak je přibližně těžký kubík vzduchu kolem nás? Na tuhle jednoduchou otázku lze najít odpověď bez složitého počítání i na internetu, jenomže jsou i takoví, co chtějí vědět, proč tomu tak je. A především pro tyhle bylo tohle povídání napsáno. Sluší se ale vysvětlit, proč jsem tohle beletristické povídání začal právě touhle zdánlivě zbytečnou otázku z pohledu běžného života.
Popíjel jsem, jako je mým málem každodenním zvykem, dvě deci bílého v jedné brněnské vinotéce na stojáka. V stoje proto, že většinou dvojdecku vypiju za deset až patnáct minut a jdu za svým, dlouhé vysedávání a povídání u sklenky mě moc nebaví. Jenomže většina lidí funguje jinak, u džbánku vína si povídá. I tři místní skalní štamgasti to vidí přesně tak, sedí, popíjejí a u toho si povídají, přesně jak se sluší a patří. U zmíněné dvojdecky vedli diskuzi o hmotnosti plynu v čerstvě nafedrované klasické malé plynové bombě, jakou běžně používají zahrádkáři nebo chataři. Leč nemohli se na hmotnosti obsahu shodnout, poněvadž kdyby se shodli, nebylo by se o čem bavit. Dovedete si představit, že všichni bychom měli bez jakéhokoliv prvku donucení např. stejný politický názor? Možná, že nějací sluníčkáři ano, ale já ne, moje představivost tak daleko nesahá. Nakonec i proto se dost děsím pobytu v nebi, třebaže mi až tak tento typ dlouhodobé dovolené nehrozí. Jenom si představte, všude pohoda, teploučko, dobře jídlo, chlast, nemusíte makat, super počasí, všichni jsou na sebe milí. Drahý Hospodine, o nebe bez nenávisti a závisti nestojím! Ale zpět k štamgastům. Jejich diskuzi jsem víceméně sluchově ignoroval a raději jsem svoji pozornost soustředil na jemně chraplavý hlas starší dámy sedící u stolu vedle stolu štamgastů. Když má žena hezký podbarvený hlas, stojí za to ji nejen poslouchat, třebaže povídá hlouposti, ale nechat si od ní číst nahlas i nenáročnou beletrii. Ovšem všeho dobrého vždy do času, jeden z diskutérů vykresluje rukou oblouk modelující celý objem vinotéky, pronesl, sleduje očima jednoho kámoše, památnou otázku a památnou odpověď: „Co myslíš, kolik váži tady vzduch kolem nás? … Nějaké dvě, tři kila!“ Tak tohle již moje jakž takž fyzikální mysl nezvládla, a proto jsem částečně neslušně zareagoval: „Pánové, omlouvám se, že vás ruším v diskuzi, ale hmotnost vzduchu zde kolem nás bude určitě větší než dvě, tři kila. Kubík vzduchu váží něco přes jedno kilo, přesnou hodnou najdete na internetu, takže pokud odhadneme tuhle místnost bez nábytku na 6 krát 5 metrů a do výšky 3 metry, což nám dává ... jo, 90 kubíků, tak vzduch zde může vážit přibližně 100 kilo.“ Odpověď okamžitě spíš doletěla, než přišla: „Pane, to se určitě mýlíte, vždyť to jsou dva pytle cementu ... “
Nebude popisovat nedůvěru v můj odhad do doby, než jsem jednoho z nevěřících Tomášů požádal, aby na svém inteligentním mobilu – mám coby zaostalec jenom obyčejný, takový důchodcovský s velikými tlačítky – na internetu vyhledal přes heslo hustota vzduchu přesnější hodnotu. Po chvilce celý udiven referoval, že mám pravdu. Velikost hustoty suchého vzduchu se sice s teplotou mění (čím je vzduch studenější, tím je jeho hustota vyšší), ale stále je nad kilem, dokonce ještě při 70 °C je hustota vzduchu 1, 0292 kg/m3. Při teplotě 22 °C, což mohla být teplota vzduchu ve vinotéce, je hustota vzduchu 1,1965 kg/m3, lidsky řečeno 1 l vzduchu váží asi 1,2 g. No co vám budu povídat, byl jsem tak jednu minutu málem king, ale určitě ne déle, jelikož pak se začalo povídat o něčem zcela jiném. Ale s tímhle problém nemám, jsem člověk, který si málem nikdy nic nenamlouvá. Málem píšu proto, že jednou jedinkrát v životě jsem si něco namlouval a dopadlo to zle nedobře.
Večer u televize mi to nedalo a spočetl jsem si vše pomocí stavové rovnice plynu. Popravdě až zas tak lehce to nešlo, protože poslední příklad na stavovou rovnici jsem absolvoval někdy před 43 roky na vysoké škole. Ale nakonec jsem se k rozumnému výsledku dohrabal. Zkusme si můj výpočet společně zrekapitulovat už jenom proto, že stavová rovnice je jedna z nejkrásnějších rovnic fyziky. Propojuje svět makroskopických stavových veličin: objemu (V), tlaku (p) a teploty (T) se světem molekul. Jde o to, že objem, tlak a teplotu umíme změřit, aniž bychom se starali o vnitřní povahu dějů, které způsobily to, že jsme naměřily hodnoty, které jsme naměřily, i proto někdy těmto veličinám říkáme fenomenologické veličiny. Fenomenologii zajímá jenom výsledný jev, ne, proč tomu tak jest. Kupříkladu teplotu v místnosti jednoduše změříme obyčejným teploměrem zakoupeným ve vietnamském obchodě, aniž bychom přesně znali složení vzduchu podle procentního zastoupení prvků, rozměry místnosti, detaily přenosu tepla ze zdroje do okolí atd. A přesto v stavové rovnici vystupuje i konstanta, která je úzce svázaná s molekulovou strukturou plynu, a jak za chvíli uvidíme, právě tato konstanta dodává stavové rovnice málem pohádkovou estetičnost. Jinak fenomenologie je i filozofický směr, ale pokud vím, zatím z něho nic rozumného nevypadlo, ale tohle zjištění v společenských či humanitních vědách není nic neobvyklého.
Při mém laickém výkladu doporučuji sledovat obrázek. Pod bodem č. 1 je napsaná stavová rovnice ideálního plynu v termodynamické rovnováze v nejobvyklejším tvaru, nějak tak se zapisuje i v chemii na základní škole. Ideální plyn je plyn, v němž zanedbáváme síly mezi molekulami, molekuly pouze do sebe, lidově řečeno, drcají. Termodynamickou rovnováhu si představme jako ustálený stav. Kupříkladu vstoupíme do studené místnosti, zatopíme a počkáme, až se teplota v místnosti ustálí, což znamená, že se po dlouhou dobu teplota nemění, respektive mění, ale z pohledu běžného pokojového teploměru to nestojí za řeč.
Stavová rovnice vzájemně svazuje stavové veličiny p, V, T, nakonec proto se jí říká stavová rovnice. Ve fyzice jsou velice důležité rozměry jednotek, v nichž velikost jednotlivých veličin měříme. Rozměry jednotek jsou důležité i proto, že při výpočtech nám výsledek musí hrát i rozměrově. Nelze kupříkladu spočíst délku kontrakce pevné tyče při veliké rychlosti podle Lorentzovy transformace a přitom místo hodnoty v metrech by nám vyšla hodnota v kilogramech. I proto si všechny rozměry veličin vystupujících v stavové rovnici připomeneme podle široce používané soustavy jednotek SI (jsou i jiné soustavy) a při samotném výpočtu hmotnosti vzduchu v místnosti budeme důsledně pracovat s rozměrovými jednotkami.
Takže jaké fyzikální veličiny vystupují v stavové rovnici a v jakých jednotkách tyto veličiny měříme? Tlak měříme v pascalech (Pa), přičemž 1 Pa je velikost tlaku, který vznikne rovnoměrným rozložením síly o velikosti 1 newtonu (N) na meter čtvereční (N m-2). V naší vinotéce budeme uvažovat pro maximální zjednodušení normální atmosférický tlak u hladiny moře, jenž je dán mezinárodní dohodou, jeho hodnota je 101 325 Pa. Někdy se můžete setkat s odvozenou jednotkou tlaku, barem, přičemž platí, že 1 bar = 105 Pa. V starší literatuře s atmosférou, pro ni platí, že 1 Atm = 1,01325 bar. Starší čtenáři si ještě ze základní školy pamatují jednotku torr. 1 Torr = 133,322 Pa. Objem měříme v m3. Teplotu v kelvinech (K). 1 K je jeden stupeň v tzv. absolutní neboli termodynamické stupnici. Název stupnice souvisí s absolutní nulou, což je hypotetický stav látky, ve které se zastaví veškerý tepelný pohyb částic. Velikost Kelvinova stupně je stejná jako velikost Celsiova stupně, ale obě stupnice se liší počátkem. Velikost teploty v K dostaneme tak, že k teplotě v °C přičteme 273,15. Malé písmeno n označuje látkové množství v molech (mol), výklad k molu viz dále. R je molární plynová konstanta, jejíž hodnota je 8,3144958 J mol-1 K-1. Odkud se R vůbec vzala a proč má takový dost složitý rozměr? Abychom význam, důležitost a krásu molární plynové konstanty R pochopili, musíme si nejdříve vysvětlit již zmíněný pojem látkového množství, které měříme v molech.
Než se ale k tomu dostaneme, je dobré vědět, že stavovou rovnici bychom mohli klidně psát i ve tvaru pV = NkT, kde N je počet molekul v objemu V, při tlaku p a teplotě T a k je Boltzmannova konstanta. Proč nějaká konstanta k? Z matematiky víme, že v rovnici se levá strana rovná pravé, zkusme k tomu přidat i pohled na fyzikální rovnost. Když si představíte čerstvě naplněnou plynovou bombu, tak má relativně malý objem, ale tlak plynu uvnitř bomby je veliký, nakonec i proto má plynová bomba velice silný ocelový plášť. Intuitivně tušíme, že právě součin tlaku p a objemu V představuje vnitřní energii plynu v bombě. A čemu se tahle vnitřní energie musí rovnat z pohledu teploty plynu, když si tak trochu sci-fi představíme, že molekuly (částice) jsou na počátku na absolutní nule, tedy se vůbec nehýbou? Musí se rovnat součinu počtu všech molekul (částic) v naší bombě, teploty plynu vyjádřené v kelvinech, a protože v levé části rovnice je energie, musí být i na pravé straně, čehož dosáhneme tím, že vynásobíme náš součin energií potřebnou na ohřátí jedné částice o jeden kelvin; tuhle hodnotu nám udává právě Boltzmannova konstanta. Tušíme, že to bude hodnota nesmírně malá. Její přibližná hodnota je 1,38 ×10-23 J K-1. Pojmenovaná je po rakouském fyzikovi Ludwigovi Boltzmannovi (1844 až 1906), zakladateli statistické fyziky. V každém případě, v stavové rovnice plynu zapsané ve tvaru pV = NkT vyniká její přirozená fyzikální elegance a interpretace.
V tomhle tvaru stavové rovnice je ale jeden veliký problém. V kubíku ideálního plynu je molekul více než požehnaně. Vždyť jenom v 1 litru vzduchu při normálním atmosférickém tlaku je přibližně 1022 molekul, což taková vinotéka! Je docela přirozené, že v praktických výpočtech chceme ze světa jednak malých (Boltzmannova konstanta), jednak velikých čísel (počet částic v plynu) uniknout k rozumnějším číslům.
Nejprve se vypořádáme s velikým počtem částic v plynu. Jak? Vezmeme nějaký typický počet částic za základ, ten bychom měli zvolit tak šikovně, aby se nám dobře počítalo. Pak vydělíme počet částic v soustavě, v našem příkladu s vinotékou částice budou molekuly vzduchu, tímto typickým počtem částic a dostaneme počet molů (n). Nebojte se, nakonec molekuly ve vinotéce nebudeme muset počítat! Za typický počet částic bylo vzato Avogadrovo číslo NA (Amedeo Avogadro, italský fyzik, žil v letech 1776 až 1856) jehož velikost je přibližně 6,022 ×1023. Pomocí nej můžeme napsat vzorec N = NA × n. Jen tak bokem, Avogadrovo číslo je trochu nepřesné vyjádření, jelikož Avogadrovo číslo je počet částic v 1 molu, takže má rozměr, kdežto číslo jako takové rozměr nemá. Odkud se velikost tohoto čísla vzala? Avogadrova konstanta je definována jako počet atomů v 12 gramech klidového nuklidu (vysvětlení viz níže) uhlíku s nukleonovým číslem 12 a protonovým číslem 6. Tento prvek byl vybrán proto, že je to současně stabilní izotop; stabilních izotopů totiž v přírodě zase až tak moc není. Experimentálně zjištěná hodnota je o něco přesnější než 6,022 × 1023, ale to v praxi při výpočtech nehraje významnější roli. Zrekapitulujme si: Soustava obsahuje 1 mol tehdy, má-li právě tolik částic (atomů, molekul, iontů, případně elektronů), kolik je atomů v 12 gramech vzorku nuklidu uhlíku s nukleonovým číslem 12 a protonovým číslem 6.
Pro ty, co látku ze základní školy již zapomněli, připomeňme rozdíl mezi nuklidem a izotopem. Nuklid je látka složená z atomů totožného prvku, které mají stejná protonová čísla a nukleonová čísla (což je počet protonů a neutronů v jádře). Pokud má prvek stejné protonové číslo, ale rozdílné nukleonové číslo, jde o izotop tohoto prvků. Izotopy téhož prvku mají stejné chemické vlastnosti, pokud jde o fyzikální vlastnosti je to již složitější. Zcela výjimečně mají izotopy téhož prvku jiné názvy, nejznámějším příkladem jsou různé názvy izotopů vodíku: tomu, co má nukleonové číslo 3 říkáme tritium, tomu co 2 pro změnu deuterium (těžký vodík) a ten co 1 je prostě vodík.
Docela by se nám hodilo, kdybychom znali molární hmotnost (M) toho kterého plynu, tedy hmotnost jednoho molu v kg. Plyn, jenž má složitější molekulu bude mít molární hmotnost větší než ten, co ji má jednoduchou. Kdybychom tedy čistě teoreticky znali hmotnost plynu v naší vinotéce (m) a molární hmotnost vzduchu, jednoduše bychom vydělili m/M a dostali bychom počet molů plynu. Pro doplnění si uveďme, že chemici hodně pracují s atomovou hmotnostní konstantou (mu). Její současná experimentálně zjištěná hodnota je 1,660 539 040 × 10-27 kg. Odkud se tahle hodnota vzala? Jednotkou atomové hmotnosti (u) je 1/12 hmotnosti atomu izotopu uhlíku s nukleonovým číslem 12 a protonovým číslem 6. No a právě to je výše uvedená hodnota. Někde narazíte i na tento text: Avogadrovo číslo je rovno počtu atomových hmotnostních jednotek u v 1 gramu. Avogadrovo číslo je sice definováno jinak, ale přesto tento pohled má jednu výhodu, např. vím-li, že hmotnost molekuly nějaké látky je 15u, tak z toho automaticky dostanu, že 15 gramů této látky obsahuje NA molekul, což je přesně 1 mol.
Už jenom pro zvětšení chaosu si uveďme, že chemici s oblibou pracují s relativní atomovou hmotností Ar. Není to nic jiného, než číslo, které udává, kolikrát je hmotnost atomu daného prvku větší než mu. Relativní atomová hmotnost je tedy určena vztahem Ar = ma/mu, kde ma je klidová hmotnost atomu daného prvku. Kupříkladu pro Au je Ar = 196,967. Relativní atomové hmotnosti nejsou čísla celá, protože prvky jsou téměř vždy směsí izotopů, kupříkladu relativní atomová hmotnost vodíku není 1,0000, ale 1,00782. Celá čísla by to byla, kdyby se jednalo pouze o nuklidy. Relativní hmotnosti prvků jsou k dispozici v každé slušnější tabulce Periodické soustavy prvků. A že taková tabulka vůbec je, víme již ze základky.
Z předchozího výkladu víme, že jednotkou molární hmotnosti bude kg mol-1. Hodnota střední molární hmotnosti vzduchu nás zajímat bude, jelikož pokud bychom ji neznali, těžko bychom spočetli hmotnost vzduchu ve vinotéce. Proč střední? Jde o to, že molární hmotnost vzduchu závisí na jeho složení (vzduch obsahuje minimálně 10 hlavních prvků v různém procentuálním zastoupení), vlhkosti, teplotě, atmosférickém tlaku (ten se mění s nadmořskou výškou) a jaksi tyhle hodnoty jsou všude na Zemi kapánek jiné. My, jelikož nejsme vědci, nebudeme z toho dělat vědu, spokojíme se s hodnotou, která se běžně uvádí v sbírkách příkladů, a to 0,02896 kg mol-1, což znamená, že 1 mol vzduchu má hmotnost 28,96 gramu. Ze základní školy si dokonce pamatujeme, že každý mol plynu zabírá stejný objem, a to 0,022414 m3 mol-1, což lidsky řečeno je 22,414 litru. Vlastně teď bychom již problém hmotnosti vzduchu ve vinotéce mohli snadno vyřešit. Celý objem vzduchu ve vinotéce bychom vydělili hodnotou 22,414, tím bychom dostali počet molů vzduchu ve vinotéce. Tento počet pak stačí vynásobit hodnotou 0,02896 kg mol-1 a máme vystaráno. Ale my jsme řekli, že ne, že my náš příklad chceme spočíst složitější cestou přes stavovou rovnici. Proč něco dělat jednoduše, když to jde i složitě!
Avogadrovo číslo je pořádně veliké, Boltzmannova konstanta pořádně malá, což je vzájemně vynásobit, tím by se tyhle dvě naprosto různá čísla vzájemně do velikosti vyeliminovala a mohlo by z toho být možná i nějaké rozumné číslo, přesněji konstanta a tuhle novou konstantu pak stačí šikovně propašovat do stavové rovnice. Jde to a dokonce bez větší námahy. Nejprve vynásobíme Avogadrovo číslo a Boltzmannovu konstantu, to co vznikne, nazveme molární plynová konstanta: R = NAk = 8,314 4598 J mol-1 K-1. Ve výpočtech se obvykle používá přibližná hodnota 8,314. No a jak jsme nakonec propašovali R do stavové rovnice, tak jak ji známé ze základní školy, je vidět na obrázku.
Vlastní zadání příkladu s tíhou vzduchu ve vinotéce i samotný výpočet je rovněž na obrázku. Zvláštní pozornost jsme věnovali rozměru jednotlivých veličin, rovněž si všimněme, že jednotky newton a joule jsme převedli na základní jednotky (m, kg, s) jelikož jinak by se nám rozměrová kontrola dělala dost nešikovně. Pro kontrolu výsledku spočteme ještě hmotnost vzduchu s využitím údaje pro hustotu vzduchu při teplotě 22 °C; hustota vzduchu je 1,1965 kg/m3. Hmotnost vzduchu pak bude: 90 × 1,1965 = 107, 685 kg. Malý rozdíl obou údajů je dán zaokrouhlováním a ne zcela důslednou kontrolou, k jakým vnějším podmínkám jsou zadané hodnoty veličin uvažovány. Vidíme, že v obou případech to na dva pytle cementu a kousek vyšlo.
Na konci našeho beletristického povídání si pro názornost spočteme velikost hrany krychle, která by v naší vinotéce obsahovala přesně 1 mol vzduchu. Stavová rovnice se nám při tomto zadání velice zjednoduší, bude mít tvar pV = RT. Když si dosadíme naše vinotékové hodnoty, V nám vyjde přibližně 0,0242 m3. Je to hodnota velice blízká výše zmíněné hodnotě 22,414 litru. Velikost délky krychle získáme coby třetí odmocninu z objemu. Kalkulačka nám vychrlí tento přibližný výsledek a = 0,2899, což je přibližně 29 cm. Závěr: ve vinotéce krychle o straně cca 29 cm obsahuje 1 mol vzduchu. A to je již opravdu vše.
V Brně 19. února 2018.