Chudinka trojčlenka
Dušan Polanský
Trojčlenka je taková malá matematická chudinka. Schytá to málem od všech, kteří nemají v přílišné oblibě matematiku. Nejeden z nás slyšel v různých obměnách sebekritické úvahy k znalostem z matematiky. „Já bych z matiky již nespočetl ani pitomou trojčlenku,“ nebo při zvýšené sebekritičnosti: „Já si z matiky již nic nepamatuji, jsem tak blbý(á), že bych nespočetl(a) ani jednoduchou trojčlenku.“
Podobné sebekritické úvahy jsou obvykle přehnané, protože v praktickém životě běžně trojčlenku používáme. Kupříkladu když si něco kupujeme, víme, kolik stojí jednotkové množství a potřebujeme koupit jiné množství, tak si cenu obvykle dokážeme bez problému spočíst. Nebo když kalkulujeme dobu, za kterou někam dojedeme autem. Víme, že když pojedeme takovou rychlostí, budeme v cíli za takovou dobu, pokud jinou rychlostí, tak za dobu jinou. Aniž si to možná uvědomujeme, v obou zmíněných případech pokaždé řešíme jednoduchou trojčlenku.
Problém přehnané sebekritičnosti je často dán vzpomínkami na hodiny matematiky ve škole. Někomu chybí matematické buňky, někomu nebyla sympatická učitelka (učitel jenom výjimečně, jelikož moc jich nebylo již v mém mládí), někdy příklady v učebnicích jsou umělé, obvykle ani netušíme, k čemu by nám podobné výpočty mohly být v životě užitečné. Navíc dnešní svět je více racionální než kdysi, většina lidí je ochotna se učit pouze věcem, které v životě využije. Zda to je, nebo není zcela správné, o tom lze polemizovat, ale tak to je.
Přiznám se, že na základní devítileté škole jsem výpočty vedoucí na trojčlenku neměl v přílišné oblibě. Jenomže za to nemohla ani tak trojčlenka, jako spíš povahově nepříjemná učitelka matematiky. Neuměla látku vyložit a vůbec již nemuvě o snaze získat žáky pro tento zaujímavý předmět. Třebaže rozumím, že i matematika - podobně jako např. kreslení, jazyky, zpěv - vyžaduje určité předpoklady, a když je nemáme, schytá to obvykle učitel. U mě to ale tak nebylo, jelikož jakés takés předpoklady na matematiku mám.
Ale popravdě, ne vždy za vše mohl(a) učitel(ka) či nevalné předpoklady žáků, to by byla demagogie a hlavně levný alibismus. Někdy šlo o závažnou metodickou chybu v osnovách předmětu. Uvedu jednoduchý příklad. Za našich středoškolských studií – chodil jsem na stavební průmyslovku v době, kdy ještě nebyly elektronické kalkulačky – se hodně k výpočtům používaly logaritmy. Docela podrobně se teorie probírala v středoškolské matematice, ale přitom v matematice jsme se vůbec neučili počítat s logaritmickým pravítkem, v hantýrce s logárem. Abych byl přesnější, neučili jsme se logiku počítání logárem v návaznosti na teorii logaritmů. Když jsme potřebovali prakticky počítat s logárem v statice, musel nám učitel tohoto odborného předmětu ukázat, jak se s logárem prakticky počítá. Při násobení posunete hodnotu 1 na šoupátku na hodnotu násobence na pevné stupnici pod šoupátkem, index pohyblivého okénka nastavíte na šoupátku na násobitele a pod indexem čteme na stupnici, kde je nastaven násobenec, výsledek násobení atd. Osobně mi chybělo ono logické propojení různých stupnic a postupů výpočtu na logáru s teorií logaritmů. Jsem rád, když věcem rozumím. Leč vím, že v životě to často nejde, život je krátký a spoustu činností musí člověk dělat mechanicky bez znalosti teorie. Prostě život se musí aktivně žít a ne planě teoretizovat.
Ale zpět od logaritmů k trojčlence. Je to látka základní školy. Určitě je v učebnicích vyložena lépe a přesněji, ale zde je vyložena tak, jak ji rozumím já.
Na obrázku číslo 1 (číslo obrázku se vám zobrazí po najetí kurzoru myši na obrázek) jsou zavedeny dva základní pojmy: poměr a úměra. Poměr je zlomek, který vyjadřuje poměr něčeho, např. platů dvou lidí, velikosti území dvou států apod. Jedno číslo poměru se píše do čitatele, druhé do jmenovatele. Kupříkladu, když já vydělávám 25 000 a vy jenom 20 000 Kč, poměr našich platů je 25 000/20 000 nebo po vykrácení 5/4. Poměr se nezmění, když čitatele a jmenovatele vynásobíme stejným číslem, viz rozšiřování zlomků. Rovněž se nezmění pokud čitatele i jmenovatele vydělíme stejným číslem, viz krácení zlomků. Úměra není nic jiného než rovnost dvou poměrů. V úměře vstupují čtyři členy, dva vnitřní a dva vnější. Pro tyto členy platí několik důležitých pravidel, tři nejdůležitější, které si je dobré zapamatovat, jsou na obrázku uvedeny a dokázány.
Na obrázku číslo 2. jsou uvedena zadání dvou jednoduchých příkladů a jejich řešení pomocí trojčlenky. Jeden je na přímou úměru, druhý na nepřímou. U přímé úměry se dvě veličiny mění jedním směrem. Když jedna roste nebo klesá, roste nebo klesá i druhá. Ve škole nás učili vyjádřit změnu jedním směrem zakreslením dvou šipek se stejnou orientací. Vcelku je jedno, jak šipky zakreslíte, důležité je, aby měly stejnou orientaci. Pro zjednodušení výpočtu, je výhodné začít s kreslením u neznámé veličiny. Poměry musíme zapsat ve směru orientace šipek. V dalším kroku je výhodné aplikovat 3. pravidlo: v úměře je součin vnějších členů roven součinu vnitřních členů. Po jeho aplikaci na levé straně dostaneme součin čísla násobeného neznámou x, na pravé straně součin dvou čísel. K výsledku (výpočet neznámé) se dostaneme tak, že vydělíme číslo získané vynásobením čísel na pravé straně, číslem na levé straně. U nepřímé úměry se dvě veličiny mění opačnými směry. Když roste nebo klesá jedna, klesá nebo roste druhá. To vyjádříme tak, že šipky nakreslíme s opačnou orientací, přitom je jedno jak. Po zápisu úměry postup výpočtu je stejný jako u přímé úměry.
Možná si vzpomenete, že ještě je tzv. dvojitá, pokud si vzpomínám, říkali jsme jí také složená, trojčlenka. Někdy se jí říká i postupná. Za chvíli poznáme proč. Protože je způsobem výpočtu docela zajímavá, dovolím si být podrobnější. Pro pochopení postupu výpočtu, pokud nechceme postupovat mechanicky jako cvičené opice, si je vhodné zavést pojem postupné úměry. V první části obrázku č. 3 je uveden jednoduchý příklad. Máme zjistit, v jakém poměru jsou platy třech kamarádů, přičemž známe poměry platů Honzy a Ivana a Ivana a Petra. Problém je, že čísla vyjadřující výšku platu Ivana k Honzovi a Ivana k Petrovi jsou u Ivana různé. Kdyby nebyly, tedy čísla by byly stejné, není co počítat. Jednoduše bychom pod: Honza : Ivan : Petr napsali tři čísla ze zadání. V našem příkladu musíme dvě různá čísla u Ivana nahradit číslem stejným. Jistě znáte, jak užvanění politici rádi mluví o převedení problému na společného jmenovatele, čímž chtějí říct, že lze srovnávat jedině to, co má stejný základ. Je to správná myšlenka, jenomže nejen v politice se na tohle základní pravidlo rádo zapomíná. My jsme ale v matematice, takže takový luxus jako v politice si dovolit nemůžeme. Upravit poměry tak, aby u Ivana figurovalo stejné číslo, není žádný veliký problém, jednoduše poměr na levé straně vynásobíme číslem 3 a na pravé číslem 2. Důležité je vynásobit současně čitatele i jmenovatele příslušného poměru! Poměr je zlomek a jak víme, tím že vynásobíme čitatele i jmenovatele stejným číslem, hodnota zlomku se nezmění. Tímto šikovným vynásobením jsme dosáhli toho, že Ivanův plat vystupuje v obou poměrech jako stejné číslo.
U dvojité (postupné, složené) trojčlenky, která má 6 členů, budeme postupovat velice podobně. Opět budeme muset náš problém převést na stejný základ, dokonce dvakrát. Zadání příkladu, který si pamatuji ze základky, je v druhé polovině obrázku č. 3. Konkrétní čísla v zadání jsem vymyslel tak, aby výsledek byl celým číslem. Když zadání přepíšeme do trojčlenkové podoby, dostaneme opticky se překryvající dvě trojčlenky neboli dvojitou trojčlenku. Jenomže vyřešit ji jedním krokem neumíme, přesněji umíme, ale osobně „chytrá řešení“ nemám příliš v oblibě. Asi je to dáno moji průměrnou inteligencí, proto raději postupuji systematicky. To je i důvod, proč náš příklad vyřešíme vzorně metodicky ve dvou krocích.
V prvním kroku budeme uvažovat, že i 9 dělníků, podobně jako 7 dělníků, odpracuje 4 směny, tím se 4 směny stanou stejným základem, o nějž se již lze opřít a něco rozumného spočíst. Protože 4 směny jsou společným základem, můžeme je při sestavování klasické tročlenky vypustit, viz přeškrtnutí. Vyšlo nám, že pokud by 9 dělníků odpracovalo 4 směny, vyrobili by 117 součástek. V druhém kroku nás zajíma, za kolik směn by 9 dělníků vyrobilo 351 součástek, když za 4 směny vyrobilo 117 součástek. Ale to již klasická přímá úměra. Výpočet i výsledek vidíte na obrázku. Opět jsme nemuseli při výpočtu uvažovat společný základ, tedy 9 dělníků, viz přeškrtnutí.
A to je konec mého povídání o trojčlence. Výpočty s ní spojené nejsou až tak složité, ale někdy i zcela jednoduchý výpočet dokáže být krásný, pokud pochopíme jeho logiku. Postup použitý při řešení dvojité trojčlenky se využívá i jinde. Kupříkladu Albert Einstein když do své speciální teorie relativity zapracoval předpoklad konstantní rychlosti světla, tedy velikost rychlosti světla zafixoval bez ohledu na pohyb zdroje světla, tím automaticky dal volnost dvěma proměnným: času a délce. A opravdu se tak děje: čas se v letící raketě zpomaluje a délka se zkracuje, učeně se tomu říká dilatace času a kontrakce délky. I my jsme při výpočtu dvojité trojčlenky postupovali obdobně, v každém kroku jsme něco zafixovali, v prvním kroku počet směn, v druhém počet dělníků, čímž jsme mohli realizovat výpočet se zbývajícími dvěma proměnnými. V prvním kroku s počtem dělníků a počtem součástek, v druhém se směnami a součástkami. Tato krátká úvaha vám snad alespoň částečně osvětlila, proč nemám mechanické výpočty v oblibě.
V Brně 11. května 2016.