Vlastní vektory a vlastní hodnoty
Dušan Polanský
Lehký předprázdninový úvod
Začínají nám prázdniny, a tak žáci, studenti středních škol, nakonec i učitelé a další personál škol mají teď více času na sebe. V průběhu školního roku toho času na volnočasové zájmy až tak moc nezbývá. Ovšem to není důvod na úplnou rezignaci od vzdělávacích aktivit. Právě naopak, teď se člověk může věnovat tomu, co jednoduše !nemusí!, no a právě proto jsem se rozhodl napsat krátké povídání o tom, co se obvykle na střední škole v matematice nebere. Z hlediska předběžných znalostí stačí rozumět pojmu vektor, umět řešit kvadratickou rovnici a soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, což vzato kolem a kolem je učivo z 9. ročníku základní školy. Vše ostatní je vysvětleno, takže v textu nenarazíte na oblíbenou frázi některých učitelů: Děcká, tohle byste již měla znát!
Několik nových pojmů
Dva nové pojmy s nimiž budeme žonglovat jsou matice a determinant. Matici budeme uzavírat do hranatých závorek [ ], kdežto determinant buď do dvou svislic | |, nebo napíšeme před matici zkratku det, tedy det[ ]. Matice i determinanty mají řádky a sloupce, kupříkladu 3 × 3 může znamenat matici nebo determinant o 3 řádcích a 3 sloupcích. Determinat je definován pouze u čtvercových matic. My si vystačíme s minimem sloupců a řádků, přece máme prázdniny! U determinantu se počítá jeho hodnota, tedy číslo, kdežto u matice ne. Tyhle dva základní pojmy jsou vysvětleny na obr. č.1 (číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek). Je zde vysvětleno, jak se vypočítá hodnota determinantu čtvercové matice a jak se provádí některé základní operace s maticemi.
Na obrázku č. 2 je vysvětlena operace násobení matice 2 × 2 maticí 2 × 2. Dále jsou zde definovány dvě speciální matice a zavedeno označení matic. Jenom dodejme, že pro matice všeobecně neplatí komutativní zákon pro násobení, tedy AB se nemusí vždy rovnat BA. No a z teorie řešení lineárních rovnic je zde konstatován základní poznatek, že pokud má řešení lineárních rovnic mít tzv. netriviální, tedy nenulové řešení, tak determinant matice musí být roven nule. Současně je vidět, jak se maticemi zapisuje soustava lineárních rovnic. Řekl bych, že docela elegantně.
Co to vlastně vlastní vektory a vlastní hodnoty matice jsou?
Pointa je prostá. Pokud matici vynásobíte vlastním vektorem, dostanete vlastní vektor vynásobený nějakým číslem, no a tomuto číslu se říká vlastní hodnota (pro daný vlastní vektor). Jak to vypadá výpočetně i graficky vidíte na obrázku č. 3. Jinak řečeno: vlastní vektor matice je nenulový vektor, jehož směr se vynásobením maticí nemění, ale může se měnit jeho velikost a orientace, což lze interpretovat jako násobení vektoru nenulovým skalárem. Zde uvedený ilustrační příklad jsem převzal z titulu [1], doplnil jsem pouze grafické vyjádření. Pokud se ptáte k čemu je to vše dobré, tak s těmito pojmy se hodně šermuje v teoretické fyzice. Kupříkaldu v kvantové mechanice pomocí matic jsou reprezentovány tzv. operátory, no a vlastní vektory a vlastní hodnoty těchto operátorů obvykle znamenají nějaké řešení konkrétního fyzikálního problému.
Jak na to?
Je hezké, že už víme, co jsou vlastní vektory a vlastní hodnoty matice, ale nevíme jak se k ním prakticky dopracovat. To je vysvětleno na obrázku č.4. V druhé části obrázku je zmíněn praktický postup výpočtu. Vidíte, že na první pohled to není až tak hrozné. Ovšem opatrně! Naše matice, pro něž vlastní vektory a vlastní hodnoty hledáme, mají rozměr 2 × 2. V takovém případě si vystačíme s řešením kvadratické rovnice a soustavy dvou lineárních rovnic o dvou nezámých. Ovšem matice může mít i větší rozměry, kupříkaldu v případě matice 3 × 3 již musíme řešit rovnici o třech stupních, tzv. kubickou rovnici, a soustavu třech lineárních rovnic o třech neznámých.
Dva řešené příklady
Člověk si pochopení látky nejlépe ověří na praktickém počítání příkladů. Z titulu [1] jsem vybral dva příklady k samostatnému řešení. Moje řešení je na obrázcích č. 5 a 6. Nevypadají složitě, ale u druhého příkladu doporučuji zvýšit opatrnost, nelze zde při řešení dvou lineárních rovnic o dvou neznámých zvolit řešení x1 = 0 a x2 = 0. Naše řešení musí být netriviální, tedy alespoň jedna z hodnot x1, x2 musí být různá od nuly! Proč? Protože determinant matice soustavy lineárních rovnic je nulový!
Závěrem
Věřím, že něčemu novému z matematiky se bez větší námahy přiučíte. Dřinu si nechte na zahradu či úklid bytu nebo domu, potažmo na sportovní výkony. No a pokud vás problematika zaujala, vyhledejte si na internetu podrobnější povídání s řešením složitějších příkladů. Nakonec občas je roztomilé rozumět i něčemu, co člověk v životě vůbec nevyužije, ale mezi námi, to vy ve vašem věku ještě nemůžete vědět.
Použitá literatura:
[1] Finney, T.: Calculus and Analytic Geometry, 7TH EDITION, ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY, 1990.
V Brně 30. června 2023.