Úvod ro řešení rovnic a nerovností s absolutní hodnotou
Dušan Polanský
Lehký úvod
Jedno povídání o absolutní hodnotě jsem již napsal v roce 2016, odkaz je zde. Uznávám, jak mi kdysi napsal jeden čtenář, že pro začátečníka je trochu náročné. K úplně elementárnímu textu, jsem se rozhodl vrátit poté, co si mi kdysi, je to už dost dávno, jeden tatínek postěžoval, že dcerka je ve škole z matematiky nešťastná (já na základní a střední byl na tom stejně), že právě berou rovnice a nerovností s absolutní hodnotou, a že v tom pěkně plave. Tak jsem mu řekl, ať mě k ním zaveze a dáme to za dvě vyučovací hodiny do pořádku. Chvíli nevěděl zda mluvím vážně nebo šprýmuji, ale nakonec nabídku přijal. Stalo se tak na druhý den a dcerka se chytla, a já za to dostal coby odměnu dobrou večeři. Pak jsem na tuhle epizodu nějak zapomněl, až nedávno mě ten tatínek oslovil, já si ho už vůbec nepamatoval, a sdělil mi, že dcerka již odmaturovala a studuje vysokou, práva. Že si vybrala obor, kde není matematika, a že prý z celé matematiky si pamatuje jenom můj výklad o absolutní hodnotě. To určitě přehnala, ale pobavit mě to pobavilo. V každém případě je vidět, že v praktické matematice se dívka vyzná, většina soudců, státních zástupců, advokátů, exekutorů určitě vydělá daleko více než inženýři, kteří se musí trápit (nejen) s matematikou. Ale i přesto si myslím, že pro lehké pobavení nemůže nikomu uškodit elementární úvod kolem absolutní hodnoty. I těm, co matematiku na střední či vysoké nemají.
Konečně matematika
Alfou omegou výpočtů s absolutními hodnotami je správné pochopení definice absolutní hodnoty, viz bod č. 1 na obrázku č. 1. Největší problém dělá studentům pochopit, že pokud se jedná o záporné číslo nebo zápornou neznámou, absolutní hodnota se získá tím, že před číslo nebo neznámou dáme znaménko –. Pořádně promyslet, a uvědomit si, že absolutní hodnota jakéhokoliv čísla nemůže být nikdy záporná. Jenom kladná nebo 0.
V bodě č. 2 řešíme jednoduchou rovnici |x| = 3. A teď opatrně! Nevíme, zda neznámá hodnota x je kladná hodnota nebo záporná anebo 0. Z definice absolutní hodnoty musíme uvažovat všechny tři možnosti, přesně jako nám ukládá definice absolutní hodnoty. Pokud by x byla 0, tak rovnice nemá smysl, jelikož 0 se nerovná 3.
V bodě č. 3 a v bodě č. 4 řešíme dost si navzájem podobné nerovnosti |x| < 3 a |x| > 3. Opět celý fígl je, že uvažujeme všechny tři možnosti. Jak to dopadlo vidíte na obrázku. Pokud jste povídání do tohohle bodu pochopili, máte již vyhráno. Vše ostatní již bude snadné.
V bodě č. 5 je uveden chyták. Jistě a správně, absolutní hodnota nemůže být záporná!
V bodě č. 6 máme zadanou k řešení rovnici |x – 9| = 3. Je zde také uvedena pomůcka, odkaz na řešení příkladu č. 2. Přesně tak, musíme uvažovat dvě rovnice x – 9 = 3 a x – 9 = –3. Nula opět nesplňuje zadání.
A máme zde druhý obrázek.
Zadání v bodech č. 7 a č. 8 se odvolávají na řešení příkladu č. 3. Přesně tak i postupujeme. U příkladu v bodě č. 8 je uvedena důležitá skutečnost, že pokud nerovnost násobíme záporným číslem znaménko nerovnosti musíme otočit. Jednoduchý příklad pro zapamatování: – 3 < 5, což je pravda, pokud nerovnost vynásobíme na obou stranách –1 a znaménko nerovnosti neotočíme dostaneme 3 < –5, což pravda není, ale po otočení znaménka dostaneme nerovnost 3 > –5, což již v pořádku je.
A teď v bodě č. 9 něco složitějšího. Máme rozepsat čemu je daná rovnost s absolutními hodnotami ekvivalentní. Správně! Musíme uvažovat čtyři možnosti pro kombinaci levé a pravé strany. Pokud by x = 0, tak očividně rovnice nemá řešení. Ovšem stejně dopadneme beztak. Vidíme, že řešení se nám z důvodu ekvivalence dvou a dvou rovnic zredukovalo na dvě rovnice. A tyhle dvě rovnice nemají řešení; x se nemůže rovnat dvěma různým hodnotám.
A dostáváme se k finále našeho okresního přeboru v podobě příkladu v bodě č. 10. Postupujeme stejně jako v příkladu č. 9. Tentokráte naše rovnice řešení má. Abychom se o tom přesvědčili, udělali jsme i zkoušku správnosti. Dopadla dobře. Nula opět nepřichází do úvahy.
V životě jsem nepotřeboval prakticky řešit rovnici či nerovnici s absolutními čísly, když už, tak jenom ve škole. Ale škola není život, tedy pro většinu z nás. Ovšem proč občas nepotěšit i duchovní stránku naší lidské existence právě pochopením počítání s absolutními hodnotami. Ať se vám daří, a nejen v matematice.
V Brně 16. ledna 2024.
Dodatek z 31. 1. 2024. Napsala mi studentka, že jí článek docela dost pomohl, ale zda bych text nedoplnil pro případ, že se pracuje s odmocninou. Tak budiž.
Na třetím obrázku jsou dva příklady, kdy se řešitel musí vypořádat s odmocninou. Důležité si je zafixovat a umět využívat vztah v rámečku. Po přepsání druhé odmocniny do této podoby řešíme nerovnost klasickým způsobem, viz předchozí příklady. Vlastní výsledek řešení zde zapisují klasickým matematický zápisem, který studenti znají. Logický operátor nebo má značku v.
