Arkus tanges možná i potěší
Dušan Polanský
Málem zbytečný prolog
Žijeme složitou dobu, dobu covidovou, složitou po všech stránkách, tedy i po stránce výchovně-vzdělávací. Školáci a studenti se učí všelijak a nemají to v žádném případě lehké, nemluvě vůbec o tom, že ne všichni mají stejné podmínky, někteří doslova bídné. O rovnosti podmínek při přístupu k vzdělání nelze vůbec mluvit. Tak či onak většina se vzdělává on-line. Osobně jsem ještě v době biblické (doba velikých sálových počítačů s minimálním síťovým propojením) dálkově (dnes kombinovaně) vystudoval elektronické počítače na VUT v Brně a vím, že to nebylo jednoduché. Pochopitelně v té době o on-line výuce nebylo ani vidu ani slechu.
Dnes se dost často mluví o distančním studiu, což je trochu nepřesné, u distančního studia by se totiž měl žák či student látku naučit či nastudovat samostatně, učitel jenom upřesňuje rozsah učiva, poskytuje konzultace a zkouší. U kombinovaného studia část látky je odpřednášena i odcvičena v škole, větší část by měl žák či student se opět naučit sám. Takže raději zůstaňme o obecné on-line výuky, i proto tohle moje povídání lze možná chápat jako malinkatý příspěvek k on-line vzdělávání.
Leč otázkou je vzdělávání koho? Popravdě spektrum zájemců může být široké, od studentů středoškoláků, kteří v matematice již měli základy diferenciálního a integrálního počtu, až po vysokoškoláky, či už studující nebo již vystudované, kteří jenom tak pro potěšení si chtějí zavzpomínat na časy studia. Je to látka k životu téměř nepotřebná, ale podobně je to s celým uměním, sportem, komiksy, brakovou literaturou, koukáním na televizi, čuměním do mobilu, hraním karet, popíjením v hospodách apod., a přesto mnohé z toho nás baví.
Jediné, co vám mohu slíbit, že nebudu vám říkat, že tohle byste již měli znát, protože vše, co budete potřebovat k pochopení bude vysvětleno nebo zopakováno. Asi to bude tím, že moc nemusím učitele, co se až příliš často dovolávají již probrané a dávno zapomenuté látky. S výkladem nebudeme spěchat, vždyť času dost, koronavirus nás beztak blokuje v normálním životě. Nakonec i proto začneme od Adama, tedy od základní školy.
O co nám vůbec půjde?
Nepůjde o nic jiného než si funkci arkus tangens definovat jistým určitým integrálem. Ono vůbec matematici si potrpí na definice funkcí integrálem, kupříkladu takovým elementárním příkladem je definice funkce logaritmus, pokud vás to zajímá blíže, tak o tom jsem něco napsal na konci textu zde. Jenom si připomeňme, že obvykle se funkce arkus tangens zapisuje zkráceně jako arctg x nebo arctan x. Pro začátek je zde obrázek průběhu naší funkce. Vidíme, že když se x blíží k nekonečnu, tak hodnota naší funkce se blíží pí/2. Pokud se blíží x k mínus nekonečnu, tak k – pí/2. Ale i k tomuto se časem dostaneme.
Pro pořádek uvádím, že k nakreslení grafu jsem použil [2], a že pokud se budu odvolávat na číslo obrázku, tak myslím číslo, které se vám objeví po najetí kurzoru myši na obrázek.
A teď již, jak na to
Správný příběh začíná v školce, ale do té jsem nechodil, takže začnu základní školou, za nás to byla základní devítiletá škola. Pro osvěžení mysli si připomeňme definice trigonometrických funkcí tak, jak je nám paní učitelka (tedy alespoň v mém případě) vtloukala do hlavy. A jistě si vzpomenete, že hodnoty některých úhlů jsme si museli umět logicky odvodit. Jak? Viz obrázek č. 1.
Na základce jsme úhly měřili ve stupních. Bez úhloměru ani rána! Ovšem stupně jsou dost nešikovné pro výpočty ve vyšší matematice, tam se obvykle pracuje s obloukovou mírou úhlu. Obrázek č. 2 nám připomene její definici i nějakou tu drobnost, kterou v dalším použijeme. Hlavně si dobře zapamatujme, že délka oblouku na jednotkové kružnici (r=1) se rovná přímo úhlu v obloukové míře! Tenhle fakt bude mít pro nás zcela zásadní důležitost.
A když jsme zvládli obloukovou míru úhlu, již nic nám nebrání definovat si trigonometrické funkce pomocí jednotkové kružnice, viz obrázek č. 3. Zde jsem navíc uvedl i dvě další funkce secans a cosecans, ale jenom proto, abychom si ukázali pohodlnost práce s jednotkovou kružnicí při odvozování dalších trigonometrických vztahů, viz příklady. S jednotkovou kružnicí se opět setkáme právě při definici funkce arctg x pomocí integrálu.
Určitě někteří si vzpomenou, že funkce tg x a cotg x jste si definovali na střední škole pomocí jednotkové kružnici ještě jinak. Mate pravdu. Tahle definice je šikovná v tom, že pracuje s jednou stranou trojúhelníka, která má délku 1. Vše vidíte na obrázku č. 3a.
A na závěr středoškolské látky klasická definice cyklometrických funkcí, viz obr č. 4. U cyklometrických funkcí známe hodnotu funkce a k ní hledáme příslušný úhel, jehož příslušná trigonometrická funkce dá právě zadanou hodnotu. Proto také říkáme, že cyklometrické funkce jsou inverzní (přesnou definici tohoto pojmu vypouštím) k již zmíněným trigonometrickým funkcím. Již víme, že úhel v obloukové míře je současně i délka oblouku na jednotkové kružnici a arcus je v latině oblouk, takže můžeme říct, že u cyklometrických funkcí zjišťujeme délku oblouku, nakonec i proto v jejich názvu figuruje slovo arkus. Tenhle fakt v dalším zásadně využijeme.
Pro doplnění si uveďme, že v literatuře můžeme běžně narazit na tzv. trojúhelníkovou interpretaci cyklometrických funkcí. Tato interpretace se docela hodí např. při integrování trigonometrických funkcí. Na ukázku je na obrázku č. 4a interpretace funkce arcsin x. Za chvíli tento obrázek využijeme při výpočtu délky jednotkové kružnice integrálem.
A teď přistoupíme k malému opáčku diferenciálního počtu, viz obrázek č. 5. Kromě všeobecně známých vzorečků, jsou zde spočteny i tři jednoduché derivace. Pi našich dalších výpočtech použijeme první a třetí výpočet. Vlastně zde bych mohl výklad málem ukončit, jelikož vidíme, že derivace funkce arctg x je 1/(1 + x2) a víme, že derivování je inverzní operací k integrování, takže klidně již teď můžeme napsat, že integrální definice funkce arctg x je určitý integrál integrandu 1/(1 + x2), kde meze integrálu jsou od 0 do t, kde t je jakékoliv reálné číslo. Jakékoliv proto, že když se podíváme na úvodní obrázek, tak funkce arctg x je definována pro všecka čísla. Je to sice vše pravda, ale nám jde o něco víc, chceme mít jistotu, že jsme se trefili, a hlavně pochopit názornou geometrickou interpretaci proměnné t.
Z inegrálního počtu budeme potřebovat umět spočíst délku křivky definované funkcí f(x), jež je spojitá a má derivaci v celém úseku, v němž délku křivky chceme znát. Po připomenutí vzorce pro výpočet délky křivky, je zde na ukázku spočtena délka jednotkové kružnice integrálem. Při výpočtu narazíme na další cyklometrickou funkci, a to arcsin x. Její derivace je zde rovněž spočtena. Dobře si zapamatujeme tvar integrované funkce, za chvíli se s ní setkáme.
A konečně se dostáváme k finále okresního přeboru. Výklad na obrázku č. 7 a č. 8 je podle titulu [1], jehož autorem je vynikající český matematik prof. Eduard Čech (1893-1960). Pokud se chcete o něm dozvědět více, podívejte se na Wikipedii. Na konci povídání o jeho díle se dozvíte, že velkou pozornost věnoval i otázkám školské matematiky. Myslím, že i zmíněný titul [1] je toho malým dokladem. Knížka je to útlá, ale přitom hezkým způsobem vysvětluje techniky a postupy tzv. vyšší matematiky. Bohužel tento typ literatury nám dnes na knižním trhu zcela chybí, což je tak trochu ostuda pro profesionální matematiky. Ale dost již moralizování, raději zpět k výkladu. Jenom dodám, že zde provedené výpočty jsou kvůli pohodlí čtenáře o něco více podrobné než v zmíněném titulu.
Definice uvedená v [1] vychází z nám již známé jednotkové kružnice, geometrický význam proměnné t, jež ve finále bude horní mezí určitého integrálu definujícího arctg x by měl být zřejmý z obrázku. Určitě jste si všimli, že se hodnoty t nachází na ose kotangent, viz obrázek č. 3a, ačkoliv arctag x je funkce inverzní k funkci tangens x. Podstatné ale je, aby naše funkce definovaná integrálem dávala stejné výsledky jako klasický arctg x.
Funkci arctg x si definujeme jako délku oblouku PQ na naší jednotkové kružnici. Jak se délka oblouku integrálem počítá, jsme si ukázali na obrázku č. 6. Ovšem k tomu potřebujeme znát souřadnice bodu Q. Jejich výpočet je zce uveden. Pak nám již stačí aplikovat vzorec pro výpočet délky oblouku podle vzorce na obrázku č. 6 a dodefinovat limitní případy, kdy Q se blíží k bodu R a S. Jelikož délku jednotkové kružnice jsme si řádně složitě spočetli, neměl by to být již problém. Jinak podle zarámovaného vzorečku vidíme, že funkce F(t) je lichá, podobně jako např. funkce sinus. Rovněž zde vidíte náčrtek trojúhelníkové interpretace funkce arctg t.
Když se podíváme na výslednou definici funkce F(t), popravdě nikde nevidíme integrand 1/(1 + x2) a rovněž horní mez integrálu je docela složitá, třebaže závisí pouze na proměnné t. Co s tím, musí to takto zůstat?
Nemusí, jelikož forma nás klame, stačí provést substituci x = 1/u u námi definované funkce F(t) a po krátkém výpočtu zjistíme, že finálně integrální definice funkce arctg x má tvar dle našich původních představ, viz obrázek č. 8.
Určitě vás napadne, že Ludolfovo číslo, tedy pí, lze lehce definovat právě pomocí funkce F(t), pokud totiž za horní mez dosadíme t=1, čímž vymezíme čtvrtinovou délku oblouku jednotkové délky kružnice, pro názornost viz nákres na obrázku č. 7, což je pí/4. Stačí pak výsledek integrálu vynásobit čtyřmi a máme Ludolfovo číslo. Jak můžete vidět vlevo, výpočet kalkulátorem [3] nám to potvrdil.
Teď již opustíme titul [1] a ukážeme si dvě aplikace integrální definice funkce arctg x. První bude tak trochu akademická, druhá z fyziky. Na obrázku č. 9 opět spočteme Ludolfovo číslo pomocí jistého určitého integrálu, v němž integrand je opět 1/(1 + x2), dolní mez 0, ale horní mez je nekonečná. Pokud váš kalkulátor umí spočíst i určitý integrál, zkuste si správnost vzorce ověřit výpočtem, místo nekonečna, zadejte např. číslo 500 a výsledek vynásobte dvěma. Kalkulátor [3] mi spočetl přibližnou hodnotu 3,13759. Ludolfovo číslo na stejný počet desetinných míst je 3,14159.
Druhá ukázka je o výpočtu integrálu, který se vyskytuje v teorii proudění. První výpočet je klasický s využitím faktu, že derivace arcsin x je 1/sqrt(1 - x2), viz obrázek č. 6. Integrál x/sqrt(1 - x2) se lehce spočte substitucí t = 1 - x2.
Druhý výpočet již využívá funkci arctg x. Ovšem je zde použit rafinovaný trik. Klasický Riemannův určitý integrál totiž dělí na malinkaté úseky osu x, no a k tomuto dělení určí příslušné plochy obdélníků shora ohraničených funkcí f(x). Kdežto zde postupujeme jinak, spočteme inverzní funkcí k našemu integrandu a dělení provedeme na ose y a rovněž integrujeme podle proměnné y. Pokud byste měli s názornosti výpočtu problém, představte si druhý náčrt otočen o 90 stupňů doleva.
Ale jak se říká na vojně: Důvěřuj, ale prověřuj, neboli: V obchodě neznám bratra. Pomocí kalkulatoru geogebra [3] se na triviálním příkladu ujistíme, že naše definice funkce arctg x pomocí integrálu odpovídá klasické definici, jak jsme si ji uvedli na obrázku č. 4.
Víme, že tg 45° je 1, z čehož plyne, že arctg 1 = 45°. Jenomže, jak jsem si již řekli, v diferenciálním a integrálním počtu pracujeme většinou s obloukovou mírou úhlu, což znamená, že i výsledek integrálu, který vidíte zadaný na obrázku č. 11, je bezrozměrný (rad se obvykle nepíše), je to reálné číslo. V třetím řádku jsme se jenom ujistili, že opravdu 45° je hodnota vygenerovaná určitým integrálem, tedy až na malé zaokrouhlení, které je dáno výpočtem integrálu. Proč jsme meze integrálu zadali od 0 do 1? Je to prosté, pokud chceme, aby úhel alfa na obrázku č. 7 byl 45° musí být t = 1.
A tady už končím, jelikož sekundární cíl mého povídání, vyložit látku zdánlivě jednoduchou řádně složitě, jsem také splnil. Primárním cílem bylo zopakovat si kousek goniometrie a něco z kalkulu (calculus), tak se totiž v anglosaské literatuře říká diferenciálnímu a integrálnímu počtu. Hospodin s námi.
Literatura a internetové pomůcky:
[1] Čech, E. Co je a nač je vyšší matematika, JČMF, Praha, 1942.
[2] https://www.meta-calculator.com aplikace: graphing-calculator.
[3] https://www.geogebra.org/calculator aplikace: calculator suite.
V Brně 6. února 2021.