Lorentzova transformace

Dušan Polanský

Fyziku mám rád asi jako ořechový či višňový závin, guláš z hovězí klišky, češtinu v povídkách Jana Čepa nebo polehávání o samotě v přírodě. Leč určitě ne jako bílé víno, jelikož to piju málem každý den a věřím, že se ho stihnu napít i v den mého posledního pozemského bytí. Z toho je zřejmé, že fyziku jsem nevystudoval a fyzice se věnuji jenom občas. Obvykle občas nastane až po několika více než málo měsících. Ne jinak tomu bylo zcela nedávno. Jsa nachlazen a snaže se bojovat proti stavu duševní lenosti, vzpomněl jsem si, že ve výborné učebnici [1] – která se za mých mladých let hodně používala při studiu na technických vysokých školách –, nejsou uvedeny kvůli úspoře místa všechny podrobnosti odvození Lorentzovy transformace. Tak jsem vzal pořádně veliký papír a pokusil jsem si vše sám od A až do Z odvodit bez čumění do knihy. Lhal bych, kdybych napsal, že to šlo hladce, ale nakonec jsem výpočet asi po čtyřech hodinách trápení dotáhl do finále. No a když jsem se již tolik namordoval, tak nedat si výpočet na stránky by bylo málem hříchem, neboť je jenom otázkou času, kdy vše, už asi nenávratně, zapomenu. A vůbec slušný křesťan není skrblík, ale rád se podělí se svým blížními alespoň o to, co zná nebo umí udělat.

Tohle populární povídání je určeno pro laiky. Znalosti z matematiky a fyziky předpokládám na úrovni první třídy gymnázia. Nejvíce nás potrápí běžné algebraické úpravy. Ale z toho si nic nedělejme, i přítel Alberta Einsteina matematik Hermann Günther Grassmann se dost se světoznámým fyzikem natrápil, než mu doslova vtloukl do hlavy matematický aparát nezbytný pro vybudování obecné teorie relativity. Einsteinovi pomáhal také geniální německý matematik David Hilbert, ale nebojte se, o tomto aparátu tady řeč nebude, tam je matematika zcela jiné kafe. Cíl tohoto střípku je skromný: umožnit laikům bez studia další literatury pochopit Lorentzovu transformaci v kontextu současného chápání jednoty prostoru a časy a platnosti zákonů fyziky ve všech inerciálních vztažných soustavách (viz další odstavec). Šance, že se mi to povede, je tak půl na půl, ale proč se o to alespoň nepokusit.

Čím je dána důležitost Lorentzovy transformace? Odpověď je prostá, je to stěžejní transformace celé moderní fyziky. O čem a k čemu vůbec Lorentzova transformace je? Jde o to, že fyzikální děje by měly fungovat ve všech vztažných soustavách stejně. Vztažná soustava je soustava, vzhledem k jejíž počátku měříme souřadnice a čas konkrétního fyzikálního děje neboli události. Ideální vztažná soustava, říká se jí obvykle inerciální, je soustava, v níž nepůsobí gravitace a jakékoliv těleso v klidu popřípadě v pohybu setrvá v tomto původním stave trvale, aniž by změnilo směr nebo velikost své rychlosti. Uznáte, že by asi nebylo moc dobré, kdyby pro pozorovatele v inerciální soustavě spojené se Zemí probíhaly fyzikální děje jinak než pro pozorovatele v rychle letící raketě. Když vím jak se formálně matematicky zapíše nějaký fyzikální zákon na Zemi a když budu znát: rychlost, polohu a směr letu rakety a jak se transformuje vzdálenost a čas mezi vztažnou soustavou země a rakety, měl bych umět napsat matematický tvar stejného zákona i pro letící raketu. Neboli jedna fyzika je až až.

Transformace jsou všelijaké, spolehlivě fungují pouze ty matematické či fyzikální, ostatní dopadnou – i přes halasné proklamace těch, co tomu, co transformují, často nerozumí – obvykle nedobře. Nás bude konkrétně zajímat transformace zjednodušeně naznačena na náčrtku na obrázku č. 3. Text si zatím nevšímejte. Obecně nám půjde o matematické vyjádření vztahu mezi čárkovaným a nečárkovaným prostoročasem při zachování dvou postulátů, které si za chvíli uvedeme. O prostoročasu, líbí se mi německý výraz Raum und Zeit, mluvíme proto, že událost v prostoročase je popsána třemi prostorovými souřadnicemi a jednou časovou souřadnicí, která nám říká, kdy pozorovaná událost nastala nebo nastane. Je to podobné, jako když si s někým domlouváme schůzku; stanovíme si místo a čas schůzky. V našem výpočtu pro zjednodušení budeme uvažovat pouze osu x a časovou osu t. V literatuře narazíte i na pojem časoprostor. V našem textu je význam obou pojmů stejný.

Teď si možná říkáte, že u prostorových souřadnic nemůže být žádný větší problém stanovit vztah mezi x´, y´, z´ a x, y, z. Máte pravdu, pro samotné prostorové souřadnice, když znám vzájemnou polohu vztažných soustav vůči sobě a rychlost rakety v, napsat příslušnou transformaci není žádný větší problém. Takové, ale i jiné, transformace matematika již dávno detailně popsala. Jenomže co s časem a jak jej propojit s prostorem tak, aby tvořily jednotu? A tady začínají problémy: matematické, fyzikální a tak trochu i filozofické.

Fyzikové totiž ještě donedávna, cca 120 let zpět, věřili, že existuje absolutní vztažná prostorová soustava vyplněná nepohyblivým éterem. Bylo by to výborné, jelikož polohu každého bodu kdekoliv ve vesmíre bychom mohli určit naprosto jednoznačně právě vůči této absolutní soustavě (éteru). Bohužel fyzikální experimenty ukázaly a ukazují, že privilegovaná absolutní vztažná soustava neexistuje, tj. polohu tělesa musíme definovat k nějaké, sice libovolně zvolené, ale zcela konkrétní vztažné soustavě. Tedy polohu určujeme relativně, ne absolutně! Ne nadarmo i v životě říkáme, že vše je relativní. Bohužel i s časem je to stejné jako s prostorem, také neexistuje absolutní čas, který by byl stejný ve všech vztažných soustavách. Kdyby tomu tak bylo, tak by platilo, že t´ = t, bez ohledu na to jakou rychlostí by se čárkovaná vztažná soustava, raketa, pohybovala. Čas je také relativní veličina, tj. že i čas hodin v raketě, t´, je funkcí souřadnic, času a rychlosti v, kterou se vztažná soustava rakety pohybuje vůči Zemi. Formálně zatím zapsáno takto: t´ = f(x,y,z,t,v). Za chvíli uvidíme, že do závorky budeme muset připsat ještě jednu fyzikální konstantu, a tou je rychlost světla.

V roce 1904 odvodil vynikající holandský fyzik Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) transformaci, kterou si odvodíme za chvíli i my. Při odvození uvažoval, že v různých vztažných soustavách plyne čas různou rychlostí, což bylo na tu dobu novum. Jenomže pro Lorentza to byla jenom technická úvaha a z tohoto předpokladu vycházející matematický výpočet jenom ukázal, za jakých podmínek by si Maxwellovy rovnice (rovnice popisující elektromagnetické pole) zachovaly stejný formální tvar i v soustavě rakety. Hlubší fyzikální souvislost mu unikala. V roce 1905 přichází na scénu mladý německý fyzik Albert Einstein (1879-1955), jenž fyzikálně jasně a matematicky přesně dokázal, že se nejedná o náhodu, že Lorentzův výpočet dopadl tak, jak dopadl. Vysvětlil hlubokou souvislost fyzikálních zákonů, času a prostoru v různých inerciálních soustavách.

Albert Einstein při odvození Lorentzovy transformace vycházel ze dvou základních postulátů. První říká, že všechny inerciální soustavy jsou rovnocenné pro popis fyzikálních dějů. Druhý říká, že rychlost světla ve vakuu má stejnou velikost ve všech inerciálních soustavách. Při výpočtech se často pro zjednodušení rychlost světla uvažuje 300 000 km/s, což je jenom o chlup daleko od současně stanovené hodnoty.

S konečnou velikostí rychlosti světla je to vůbec zajímavé. Napsali jsme, že má stejnou velikost ve všech inerciálních soustavách. Zdánlivě to odporuje každodenní zkušenosti. Představme si, že kráčíme v pohybujícím se vlaku ve směru jízdy vlaku rychlostí 5 km/hod. Vlak jede rychlostí 90 km/hod. Když naši rychlost změří pozorovatel pevně spojen se Zemí, zjistí že se pohybujeme vůči němu rychlostí 95 km/hod. Vše dopadlo podle očekávání. Ovšem pro rychlost světla nic takového neplatí. Když pojede sci-fi vlak rychlostí 100 000 km/s a my z jeho paluby vyšleme ve směru jízdy světelný paprsek rychlostí 300 000 km/s, pozorovatel stojící na Zemi nenaměří rychlost světla 400 000 km/s, jak bychom podle předchozího výsledku očekávali, ale pouze 300 000 km/s . Proč musíme téhle zdánlivé nelogičnosti věřit? Důvod je prostý: výsledky experimentů tuhle skutečnost neodvolatelně potvrzují. Pokud budete mít problém se s tímto faktem vyrovnat, nic si z toho nedělejte, i mnozí spisovatelé fantastické literatury tenhle fakt úspěšně ignorují, přemísťují své hrdiny pomocí různých pseudoprostorů, dír a co já vím čeho ještě, v naprosté pohodě nadsvětelnými rychlostmi po celém Všehomíru. Ale kdyby jenom spisovatelé, ale i profesionální, dobře placení, fyzikové se občas s podobným nesmyslem vytasí na světlo světa! Vždy to skončí ale stejně, podrobný rozbor experimentu, podle něhož by rychlost světla měla být překonána, ukáže, že se jedná o obyčejný blábol, přesněji, že zatím nepochopili speciální teorii relativity do patřičné hloubky. Jinak speciální relativita, je přesně ta relativita, jejíž matematický základ tvoří Lorentzova transformace a dva postuláty: konstantní rychlost světla ve vakuu a rovnocennost všech inerciálních soustav.

Můžeme se již konečně vrhnout na výpočet? Zatím stále ještě ne. Jde o to, že se musíme chytit něčeho pevného, zatím vše je jenom relativní. Musíme najít nějaký invariant, onen pověstný pevný bod. Invariant je něco, co bude mít stejnou velikost v nečárkované i čárkované soustavě. Jeden invariant již známe, je to rychlost světla. Ještě by se nám hodil alespoň jeden. Nebudu vás napínat, takovým invariantem je prostorovočasový interval, což je analogie rovnice koule v třírozměrném Euklidovském prostoru. V nečárkované soustavě vypadá takto: x2 + y2 + z2 – c2t2 =0, v čárkované velice podobně: x´2 + y´2 + z´2 – c22 =0. Na střední škole se učí, jak se vypočítá vzdálenost dvou bodu v rovině, v prostoru stačí přidat třetí rozměr. Vše jsem vám popsal na na obrázku pod tímto textem. Uprostřed rovněž můžete vidět na schématech dvou koulí, že dojít na to, že invariantem je právě prostorovočasový interval, není až tak nelogické.

Zatím je to vše moc abstraktní. Pokusme se být názornější. Uvažujme jenom rovinu x, y a časovou osu t. Představme si, že z počátku roviny a časové osy vyšleme světelný signál na všechny strany. Signál se bude šířit v rovině po kružnicích a když tyhle kružnice promítneme na časovou osu, signál nám vytvoří tzv. světelný kužel, jeho konstrukce je snad zřejmá z dolní poloviny obrázku pod tímto textem. Ovšem ve fyzice nestačí, že něco vypočítáme, musí se to i experimentálně ověřit.

Jako důkaz invariantnosti časoprostorového si uvedeme myšlenkový experiment znázorněný na dalším obrázku. Příklad jsem převzal z literatury [2]. Než se do důkazu dáme, šikovně si v našem experimentu zjednodušíme výpočty. Jednak na obrázku vidíme, že formálním vynásobením vztahu pro rovnost intervalů -1 jsme kvadrátu času udělili plusové znaménko a kvadrátu polohy záporné znaménko. Dále, jelikož čas a prostor tvoří jednotu, časoprostor nebo prostoročas, bylo by od fyzikální logiky, měřit čas i vzdálenosti v stejných jednotkách: metrech. To chce sekundy nějak šikovně převést na metre! Divné? Ale kdepak! 1 sekunda je jasná, je to vzdálenost, kterou přeletí světlo za 1 sekundu a tuhle vzdálenost známe, je to 3. 108 metrů. Takže když světlo urazí tuhle vzdálenost, víme, že uplynula přesně jedna sekunda. Jak definujeme metr pomocí času? Je to čas, který potřebuje světlo, aby přeletělo vzdálenost 1 metru; to mu trvá opravdu krátce, stihne to za 1/3. 10-8 sekundy. Takže když světlo bude letět prostorem tento malinkatý čas, tak urazilo přesně vzdálenost 1 metr. Pro laika možná moc formální úvaha, ale v teoretické fyzice kvůli zjednodušení výpočtů docela běžná, neboť touto úpravou dosáhneme toho, že c = 1. Proč? Protože rychlost je dráha/čas; dráha, kterou uletí světlo je 3.108 m a zatím v našich časových jednotkách v metrech uplyne 3.108 metrů času. A vydělení stejné hodnoty stejnou hodnotou je 1. V našem myšlenkovém experimentu teď budeme moci měřit vzdálenost i čas v metrech, což nám zjednoduší výpočty.

O čem zmíněný experiment je? O raketě, která letí kolem nás velikou rychlostí a má průměr 3 metry. Z podlahy rakety vyšle něco nebo někdo, např. kosmonaut, záblesk světla směrem ke stropu rakety, na němž je připevněné zrcátko. Světlo se odrazí a vrátí se zpět do místa vyslání záblesku. Vyslání záblesku je označeno jako událost V, návrat do bodu vyslání záblesku jako N. Teď se ptáme jak bude vypadat šíření záblesku z pohledu nás pozorovatelů na Zemi, přesněji laboratoře, která je inerciální, tj. i bezgravitační, soustavou. Vše vidíme na dalším obrázku. Rafinovaně jsou zvoleny takové hodnoty, aby se nám lehce počítalo, holt není nad Pythagorovu větu se stranami trojúhelníku 3, 4, 5. Pod náčrtem je pak uveden výpočet časoprostorového intervalu pro laboratoř i raketu, v němž jsme uvažovali t2 s kladným znaménkem a čtverec vzdálenosti x2 se záporným znaménkem. Důsledně se celá oblast prostoročasu nebo když chcete časoprostoru, rozlišuje podle toho, v které části prostoročasu nebo časoprostoru je člen ve vzorci intervalu v absolutní hodnotě větší, zda člen časový, pak mluvíme o časoprostorové oblasti nebo prostorový pak mluvíme o prostorovočasové oblasti. V každém případě interval je stejný pro pozorovatele v laboratoři i v raketě. Teď máme v rukách onen pevný bod, z něhož budeme moci při výpočtu vycházet a na němž si budeme moci ověřit formální správnost výpočtu.

Konečně se pustíme do slíbeného výpočtu. Je si dobré uvědomit, že počítání ve fyzice a v matematice je v něčem naprosto odlišné. Matematikovi se jedná o formálně správný výpočet, tím vše začíná i končí, kdežto fyzik si musí paralelně s výpočtem umět představit, co výpočty obnáší ve fyzikální realitě. A nic mu nepomůže, když je výpočet formálně správný, ale nemá odraz ve fyzikální realitě. Ne jinak budeme postupovat při našem výpočtu, když něco matematicky zpřesníme, musíme si dané zpřesnění vysvětlit i fyzikálně.

Při našem výpočtu budeme používat tvar intervalu, kde prostorové souřadnice budou vystupovat s kladným znaménkem. Vraťme se opět k obrázku č. 3. pod tímto textem. Čárkovaná soustava má osu x´ stejně orientované jako nečárkovaná soustava. Čárkovaná soustava se pohybuje rychlostí ve směru osy x. Čas v obou soustavách budeme měřit od okamžiku t = t´ = 0, kdy obě soustavy splývaly. Vpravo od schématu je zapsána Galileiho transformace, jejíž logika je zřejmá se schématu. Bohužel jak ukazují experimenty, pro veliké rychlosti neplatí. Jak vidíte, čas podle této transformace plyne stejně v obou soustavách: t´ = t. Když Galileiho transformace obecně neplatí, nezbývá nám nic jiného než hledat obecnější vztahy za respektování dvou postulátů, které jsme si uvedli výše. Pod obecnými transformacemi – zatím zapsanými zcela obecně – je uveden již náš známý výraz pro prostorovočasový interval, opět používáme klasický zápis. Co s dalšími prostorovými souřadnicemi: y a z? Odbýt to tím, že zkonstatujeme, že nás zajímá pouze transformace ve směru pohybu čárkované soustavy, tj. ve směru osy x je nefyzikální. Dokážeme si, že zápis y´ = y je v pořádku. Na pomoc si opět vezmeme publikaci [2] a představme si Einsteinův super rychlý železniční vlak na kolejích. Budeme se na něj dívat zezadu. Představme si, že v soustavě spojené ze Zemí by se příčné rozměry vagónu zkracovaly, důsledkem by bylo, že by vagón sklouzl mezi koleje. Ale z pohledu pozorovatele ve vagónu se pohybují super rychle kolejnice, neboť jsme si řekli, že vše je relativní. Takže v tomto případě by se kolejnice pošinuly k sobě a kola vagónu by sklouzla na vnější stranu kolejnic. Ale to by byl spor. Fyzikální děje musí probíhat stejně ve všech inerciálních soustavách. Když vagón jede po kolejnicích v jedné inerciální soustavě, tak musí jet po kolejnicích v jakékoliv inerciální soustavě. Něco podobného lze dokázat i pro osu z. Tímto se zápis rovnosti prostoročasových intervalů v obou soustavách v klasických jednotkách zredukoval na tvar: x2 – c2t2 = x´2 – c22.

Obecně víme, že x´ i t´ jsou funkcemi: x, t, v, c. Jak ale tyhle transformační funkce zvolit? Rozhodneme se pro lineární vztahy: x´= ax + bt, t´ = px + qt, kde se dá předpokládat, že a, b, p a q budou ještě funkcemi v, c. Těžko si představit, že by transformace nezávisela na v a rychlosti světla. Proč lineární vztah? Důvod je prostý, nelineární transformace by nám vygenerovala fyzikální nelogičnosti. Představme si, že příslušná transformace by byla nelineární, např. x´ = kx2, kde k je nějaká konstanta. V praxi by to znamenalo, že body se souřadnicemi x = 1, 2, 3 by se transformovaly v čárkované soustavě do bodů se souřadnicemi 1, 4 a 9. Body vzdálené od sebe v nečárkované soustavě 1 metr, tedy rovnoměrně, by byly v čárkované soustavě rozložené nerovnoměrně. Opět porušení postulátu, že fyzikální děje musí probíhat stejně ve všech inerciálních soustavách. Teď dosadíme x´= ax + bt, t´ = px + qt do rovnice x2 – c2t2 = x´2 – c22. Koeficienty u mocnin x2 a t2 musí být stejné, koeficient u xt musí být nulový, neboť na levé straně součin xt se nevyskytuje. Protože bod 0´ má v nečárkované soustavě konstantní rychlost, musí pro x´ = 0 platit současně vztahy x – vt = 0 a 0 = ax + bt. Z této podmínky vypočteme koeficienty a a b. Koeficient gama se nazývá Lorentzův faktor, ale ještě neznáme jeho tvar. Výsledkem našich úvah je, že máme pět rovnic o pěti neznámých. Vše vidíte rozepsáno na obrázku.

Jak nás učí algebra, taková situace by měla být řešitelná. Postup mého řešení vidíte na posledním, čtvrtém,obrázku. Nejdřív jsem spočetl Lorentzův faktor, tím znám koeficienty a a b. Pak jsem spočetl q a nakonec p. Výsledný tvar Lorentzovy transformace jsem zarámoval červenou tužkou. Inverzní transformaci, tj. přechod od čárkovaných souřadnic k nečárkovaným již nemusíme počítat, neboť víme, že vše je relativní. Když jsme se dívali na čárkovanou soustavu, jak se pohybovala směrem od nás rychlostí v, stejně se může na nás dívat pozorovatel z čárkované soustavy. Bude si myslet, že je v klidu a že my se vzdalujeme od něho rychlostí v, jenomže opačným směrem. Takže stačí zaměnit znaménko u rychlosti v a inverzní transformace pro výpočet x, t z x´, t´při znalosti v je na větě. Snad zbytečná poznámka: rychlost v je vždy relativní, kdežto rychlost c absolutní.

No a je málem vymalováno. Jak ověříme formální správnost Lorentzových transformačních vzorců? Jednoduše dosadíme je do rovnosti prostorovočasových intervalů a musí se nám levé i pravé strany rovnat. Pokud umíte derivovat, můžete si je otestovat např. na vzorečku F = m.a, kde za a dosadíte druhou derivaci x, popřípadě x´. Výsledné vzorce by měly mít stejný tvar, jinak by neplatil postulát o ekvivalenci všech inerciálních soustav. Ovšem i to stále nestačí! Ve fyzice se vše musí ověřit experimentálně. A to se fyzice již přes 100 let úspěšně daří.

Ještě malá poznámka s měřením času a vzdálenosti stejnou jednotkou, metrem. Tahle zdánlivá intelektuální avantýra nám velice zjednodušuje tvar Lorentzových transforamčních vzorců. Vypadají velice jednoduše a tvarově stejně: x´= x - vt/pod odmocninou 1- v2, t´= t - vx/pod odmocninou 1- v2. Nádhera, ale nejen to! Podívejte se ještě jednou pozorně na světelný kužel na obrázku č.1. Představme si, že jej nakreslíme v klasických jednotkách, tj. v metrech a sekundách. Na časovou osu naneseme 1 sekundu, na prostorové osy x a y vzdálenost 3.108 km. Světelný kužel bude plochý, tak plochý, že jej opticky nerozlišíme od roviny xy. To není moc šikovné. Ovšem vše se změní, když použijeme stejnou měrnou jednotku pro vzdálenost i čas, tj. metr. Jak bude vypadat hranice světelného kužele teď? Jasně, máte pravdu, bude mít sklon 45° vůči vodorovné rovině, a to je pro oči docela příjemná podívaná. Holt fyzika je i o estetice.

Z Lorentzovy transformace plyne řada důsledků, jako kontrakce (zkracování) délky a dilatace (prodlužování) času v pohybující se soustavě vůči pozorovateli na Zemi; mění se klasický vzorec pro skládání rychlostí; současnost je pojem relativní; a v neposlední řadě pomocí ní lze odvodit i slavný vzoreček E = mc2. Dalo by se povídat o minulosti, přítomnosti, budoucnosti z pohledu světelného kužele atd. Jak časoprostorový tak i prostorovočasový interval jsou rovnicemi hyperboly, jednou otevřené ve směru časové osy, podruhé ve směru prostorové osy. I tahle geometrická stránka speciální teorie je velmi zajímavá, ale o tom všem a mnohém jiném lze nalézt povídání ve všech dobrých učebnicích fyziky, případně si můžete přečíst můj později (5. září 2017) napsaný text k Minkowského geometrické interpretaci Lorentzovy transformace.

Použitá a doporučená literatura:

1. Z. Horák, F. Krupka: Fyzika, příručka pro vysoké školy technického směru, Svazek 2, SNTL a ALFA, 1976.
2. Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler: Fyzika priestoročasu, úvod do špeciálnej teórie relativity, enigma, 2012.

V Brně 9. až 16. dubna 2013.

Domů | Prolog 2001: Vesmírná odysea | Nejen básně v próze | Střípky