O převodech pohybu
Dušan Polanský
Většina z nás alespoň intuitivně pozná klasické nedigitální hodinky či hodiny, převodovku nebo diferenciál z auta anebo klasický hever na zvedání těžkých břemen. U většiny těchto věcí do sebe zapadají ozubená kolečka hnacího a hnaného kola, tomu hnacímu se často říká pastorek. U heveru je to trochu jiné, zapadá do sebe rovná ozubená tyč a ozubené kolo. Třebaže mám vysokoškolské vzdělání technického typu, nevzpomínám si, že bychom se někdy či už na střední nebo vysoké učili o převodech pohybu. Bylo to dáno typem navštěvovaných škol, kdybych studoval strojařinu, jistě bych o převodech nejen slyšel, ale bych o nich musel i něco vědět. Je pravdou, že v současnosti, a v budoucnu tomu nebude jinak, jsou mechanické převody tam, kde to jde, nahrazovány elektronikou, viz např. zmíněné hodiny a hodinky, ale zatím ještě nikdo nevymyslel převodovku či diferenciál bez ozubených kol.
Proč přenášíme obvykle pohyb z malého hnacího kola na hnané větší? Důvod je ten, že hnané kolo má větší poloměr, a tím dochází ke zvětšení momentu síly přenášeného ozubením. Moment síly je definován jako součin působící síly v místě ozubení a kolmé vzdálenosti osy síly od daného bodu, v našem případě od středu hnacího nebo hnaného kola. Pochopitelně vždy je něco za něco, moment síly jsme sice u hnaného kola zvětšili, ale jeho otáčky jsou menší, proto v takovém případě mluvíme o převodu dopomala. Někdy je žádoucí zvětšit otáčky, v takovém případě mluvíme o převodu dorychla. Větší kolo je pak hnací a menší kolo hnané.
Proč vůbec tohle laické povídání o převodech píšu? Důvod je typický můj. Slyšel jsem v šalině (tak říkáme v Brně tramvaji) povídat si dva starší pány o převodech. Většině řečeného jsem nerozuměl, což bylo dáno hlavně tím, že to byli profíci. Bavili se i o kvalitě materiálu, ozubeních, výrobcích a dokonce i o cenách. Je mi jasné, že nejen na strojních průmyslovkách, ale i na učňovských školách se strojním zaměřením se základy nauky o převodech pohybu a ozubeních probírají. Tak jsem si řekl, že i já si také malé povídání o převodech napíšu, už jenom proto, abych se o převodech něco málo dověděl. Ono odejít na věčnost a nevědět nic o převodech pohybu není žádná sranda.
V knihovně jsem v zmíněné době žádnou knihu o převodech neměl, ale asi o týden jsem narazil v antikvariátu na starší populární knížečku malého formátu z roku 1947 (jedná se již o druhé vydání) „Jak porozumím mechanice“, autorem je Th. Moreux. Je v ní i kapitola o přenášení pohybů. Jenom škoda, že nejen tiskových, ale i faktických chyb je v knize poměrně dost. Přestože kniha je již starší, označení jsem převzal z této knihy. Jinak často vychází strojnické tabulky, kde problematice převodů je věnována značná část obsahu, a tam může čtenář nalézt současně používané označení kolem převodů. Pochopitelně fyzikální podstata zákonů převodu se změnou označení nemění, a o podstatu nám jde. Nakonec žádný strojař nebude studovat převody z tohoto naprosto elementárního navíc vyloženě laického povídání.
Výklad nebude matematicky těžký, bohatě vystačíme s matematikou ze základky. Jediná obtíž, která nás čeká, je vyřešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Ale tím se vůbec netrapte, celý výpočet – v zmíněné knize chybí, navíc je popletené i označení – je vidět na obrázku č. 2. Ale než se k řešení příkladu z obrázku č. 2 dostaneme, musíme si vysvětlit některé základní pojmy, které jsou zmíněné na obrázku č. 1. v bodě 1.
Budeme uvažovat pouze periodický kruhový pohyb. Když mluvíme o kruhovém pohybu, tak prvním naším základním pojmem bude úhlová rychlost, značí se řeckým písmenem omega. Úhlová rychlost nezávisí od poloměru kruhu, protože vyjadřuje rychlost otáčení celého kruhu za sekundu v radiánech. Pokud jde o radiány, tak těch má celý kruh přesně 2pí (pí je slovní vyjádření Ludolfova čísla), jak dobře víme ze základní školy. Ve stupních by to bylo 360 °. Základní jednotkou úhlové rychlosti v soustavě SI je 1 radián za sekundu. Jestliže úhlová rychlost je 2pí/s, znamená to, že kruh se za sekundu otočí přesně jednou. V technické praxi se nevyjadřujeme obvykle až tak učeně, jednoduše mluvíme o počtu otáček za minutu (někdy i za sekundu). Pokud kruh vykoná za minutu n otáček, jeho úhlová rychlost v radiánech za sekundu je n.pí/30. Výpočet tohoto vztahu vidíte na obrázku č. 1 v bodě č. 1.
Druhá rychlost, s kterou budeme pracovat, je obvodová rychlost, která již na poloměru závisí. Závislost je vyjádřena vztahem: v = r.omega. Závislost na poloměru lze lehce ověřit i myšlenkovým pokusem. Představme si, že stojíme na samém okraji otáčejícího se kruhu, který se otáčí např. rychlostí 8 otáček za minutu. Určitě na nás působí odstředivá sila určité velikosti, jejíž konkrétní velikost teď není důležitá. Když se přesuneme blíž ke středu, tedy zmenšíme poloměr, zjistíme, že naše obvodová rychlost je menší, důsledkem čehož je, že působí na nás menší odstředivá síla.
Jednoduché odvození vztahu pro velikost odstředivé síly F = mv2/r si lze přečíst kupříkladu na téhle mé webové stránce. Ve vzorečku je v obvodová rychlost v tom místě (určeném velikostí r), kde se právě na kruhu v našem myšlenkovém pokusu nacházíme.
Teď se již můžeme dát do odvození základních vztahů při přenášení kruhového pohybu. Odvodíme si základní vztahy pro přenos třením, tedy nebudeme uvažovat kola ozubená. Tušíme, že kdybychom tření použili pro přenášení velkých sil, nedopadlo by to dobře, za chvíli by kola jenom bezvýsledně prokluzovala. Vztahy, které si odvodíme, pochopitelně platí i pro kola ozubená jenom s malou modifikací. U ozubených kol pracujeme s tzv. roztečnou kružnicí, u níž se konec poloměru nachází přibližně mezi spodkem a svrškem zubů. Když jsme již zmínili zuby, je dobré vědět, že minimální šířka zubů je dána i použitým materiálem pro výrobu kol. Na internetu lze najít podrobné rozdělení převodů s ozubenými koly. Tam také zjistíte, že není zub jako zub. Ale tyhle speciality přenecháme profíkům.
Základní výchozí situaci vidíme na obrázku č. 1 v bodě č. 2. U kola hnacího i hnaného jsou uvedeny jeho základní atributy. Celá pointa výpočtu spočívá na úvaze o velikosti obvodové rychlosti obou kol. Musí být stejná! Kdyby tomu tak nebylo, kola by prokluzovala. Výsledek našeho jednoduchého výpočtu nám říká, že poměr otáček velkého kola za minutu k malému je stejný jako poměr poloměrů malého kola k velikému. Ale to není žádné překvapení, protože malé kolo se musí otáčet rychleji než kolo veliké, aby bylo dosaženo stejné obvodové rychlosti obou kol. Stejný vztah platí pro úhlové rychlosti, ale protože z úhlové rychlosti za sekundu lehce vypočteme počet otáček za minutu, a opačně, tento poměr nám již nepřináší nic kvalitativně nového.
Pro ilustraci využití základních vztahů při převodu pohybu, je na obrázku č. 2 zadání a řešení příkladu. Označení je stejné, jako na obrázku č. 1. Máme spočíst velikosti poloměrů R a r, když známe vzdálenost os dvou kol a počet otáček každého kola za minutu. Řešení, viz bod č. 1, vede ke dvěma soustavám rovnic o dvou neznámých. Z první soustavy vypočteme r a z druhé R. Pro názornost jsme v bodě č. 2 spočetli velikost poloměrů R a r pro konkrétně zadané počty otáček při známé vzdálenosti os kol.
U převodu řemenového platí obdobné vztahy. Pro úplnost uveďme, že u řemenového převodu mohou řemeny obepínat kola zvnějšku, nebo na způsob kříže. Při prvním převodu otáčejí se kola stejně, při druhém proti sobě. Vzpomínám, jak v dětství o žních jsem se chodil dívat na mlátičku obilí, říkalo se jí elevátor, připojenou dlouhou řemenicí na benzínový generátor. Pohled na svištící řemenici mě doslova fascinoval, vydržel jsem se na tenhle koncert pohybu dívat klidně i hodinu.
V případě, že poměr otáček hnacího kola ke kolu hnanému je příliš velký, přibližně 5 krát a více, musíme použít zprostředkujících ozubených kol a pak mluvíme o soukolí. Na základě toho, co již známe, lehce bychom odvodili základní vztah pro soukolí, který tvrdí, že poměr otáček prvního velkého kola (hnaného) k otáčkám posledního malého kola (hnacího) se rovná poměru součinu poloměrů malých kol (hnacích) k součinu poloměrů velkých kol (hnaných). A to je o převodech vše, co teď znám. Je sice pravda, že zakrátko to vše zapomenu, ale uklidňuje mě, že bude stačit si přečíst tohle povídání a převody opět v hlavě budou.
V Brně 3. července 2017.