Umí či neumí látku vyložit?
Dušan Polanský
Pokud máte školou povinné děti případně středoškoláky, tak si asi také občas zanadáváte na učitele, že neumí žákům látku vyložit tak, aby učivo pochopili již ve škole a ne, aby se člověk musel s nimi učit ještě doma. Pochopitelně, pokud stojíte na druhé straně, tedy jste pedagog, vysoce pravděpodobně pedagožka, tak to vidíte málem celé opačně, tedy že váš výklad je v pořádku, ale děti jsou kapánek méně chápavé nebo mají malý zájem se něco naučit. Jako téměř vždy, pravda bude někde uprostřed.
Proč jsem o tomhle začal? Nedávno jsem likvidoval nějaké papíry a mezi nimi jsem objevil i čtvrtku, na níž jsem se kdysi dávno pokoušel dceři – v té době chodila na gymnázium – vysvětlit, jak je to s rychlostí, zrychlením a dráhou. Způsob mého výkladu vidíte na prvním obrázku, tedy až na bod č. 3, který jsem doplnil až teď, vysvětlení k tomuto čti o kousek dále. Jinak původní obrázek jsem překreslil, pro zvýšení estetického dojmu jsem použil dokonce i pravítko. Ale to nebyl jediný důvod k napsání tohoto beletristického povídání. Je tu ještě jeden. Nedávno jsem uslyšel v tramvaji od jedné dívenky tenhle rezultativní výrok: Mně se matematika doslova hnusí! A já jí rozuměl, protože mně se matematika v osmičce, devítce a na střední také hnusila, a ještě jak! Důvodem na základce byla paní učitelka a na střední pán učitel. Důvod dívenky neznám.
Ale vraťme se raději k již zmíněné čtvrtce papíru. O co vůbec tehdy dávno šlo? Příklad byl prostý, je dáno konstantní zrychlení a čas a má se zjistit jakou dráhu za daný čas předmět urazí. Dcera správný vzoreček znala, o tom žádná, paměť má na rozdíl ode mne dobrou, jenom si jej chtěla sama odvodit, což je jistě chvályhodné. Prvně uvažovala tak, jak je uvedeno v bodě č. 1. Nějak se mi jí nepodařilo slovně bez kreslení obrázku přesvědčit, že výpočet je nesprávný, protože její postup nepočítá se změnou rychlosti v čase. Férově přiznávám, že fyzika ji moc nebavila, takže jakýkoliv pokus o systematičtější a kapánek důslednější výklad, tudíž časově náročnější, byl předem odsouzen k nezdaru.
Ale přesto jsem se předem nevzdal, přesvědčil jsem jí, že půjdeme na to přes obrázky a že výklad nebude dlouho trvat. Souhlasila podmíněně s tím, že výklad bude trvat opravdu jenom krátce! Nakreslil jsem volnou rukou tři obrázky. Na obrázku č. 2a, je nakreslen průběh zrychlení s časem. Vidíme, že podle zadání našeho příkladu je hodnota zrychlení konstantní: 3 m/s2. Na obrázku č. 2b je dynamicky znázorněno, jak se postupně mění rychlost od nulové hodnoty až po 15 m/s na konci 5 sekundy. V každém bodě časové osy dokážeme z našeho grafu odečíst přesnou rychlost, čímž známe okamžitou rychlost předmětu v tom kterém časovém okamžiku. A teď přichází docela napínavý okamžik pochopení výpočtu ujeté dráhy za těch 5 sekund. Zkusme vypočíst, jakou vzdálenost urazí náš předmět v první sekundě pohybu. Když se podíváte na vytečkovanou plochu v první sekundě, je při troše představivosti zřejmé, že vytečkovaný trojúhelník tvoří polovinu obdélníku o ploše 3 plošné jednotky, takže vypadá to, že urazíme 1,5 m. Pro další sekundy je úvaha podobná. Pod obrázkem jsou napsané hodnoty uražené v příslušném časovém úseku délky jedna sekunda. Výsledný součet délek uražených v jednotlivých sekundách je 37,5 m. Když se podíváme na celou vytečkovanou plochu, vidíme, že tahle plocha je trojúhelník a že jeho plocha je polovina plochy z obdélníku o rozměrech 5 sekund a 15 m/s. Plocha obdélníku je 75, polovina obdélníku, tedy plocha trojúhelníku, je 37,5 jakýchsi jednotek. Fyzikální rozměr výsledné jednotky zjistíme vynásobením fyzikálních jednotek vodorovné a vertikální osy: [s] * [m/s] = [m], což je rozměr jednotky překonané dráhy.
Teď bychom měli nějak šikovně kápnout na vztah mezi překonanou dráhou a časem a zrychlením, což můžeme obecně napsat jako s = f(a, t). Ale to by již nemuselo být až tak moc těžké, když víme, že jedna strana obdélníka je t a druhá at (v = at). Přitom z naší předchozí úvahy víme, že musíme uvažovat jenom polovinu obdélníka, tedy s = 1/2 * att = 1/2*at2. Na obrázku č. 3c jsou podle tohoto vzorečku spočteny a zakresleny uražené dráhy za první sekundu, za první 2 sekundy, za první 3 sekundy atd.
Když jsem grafický výklad dokončil, dcera mi netrpělivě sdělila, že na takové dlouhé odvození nemá čas – pokud si vzpomínám, v té době hodně skautovala, takže asi spěchala do skautu –, že jsem jí postup, jak se dostat k výslednému vzorečku, tedy s = 1/2*at2, měl vysvětlit jednodušeji. Možná měl, ale popravdě ani jiný postup, než jsem teď uvedl, neznám. Tím vůbec netvrdím, že nejsou i jiné možné postupy, jak se k vzorečku s = 1/2*at2 dopracovat.
Abychom k první části povídání o rychlosti přidali i nějakou novou přidanou hodnotu, zkusme pro tentokrát uvažovat, ale již bez našeho netrpělivého rodinného příslušníka, ještě o kousek dále než v té dávno minulé době. Vraťme se k obrázku č. 2b. Představme si, že bychom nedošli na to, že v průběhu 1. sekundy urazíme dráhu 1,5 m, v průběhu 2. sekundy 4,5 m atd. Určitě ale víme, přesněji to vidíme přímo z obrázku, že v průběhu 1. sekundy uražená dráha se bude pohybovat mezi 0 až 3 metry, v 2. sekundě mezi 3 a 6 metry atd. Je zcela přirozené předpokládat, že skutečně uražená dráha se bude pohybovat mezi dvěma sumárními hodnotami. První sumární hodnota bude tvořena součtem dolních hranic a druhá sumární hodnota bude tvořena součtem horních hranic uražených vzdáleností za celý čas. Suma dolních hranic je 30 m a suma horních 45 m, kontrolní výpočet nechám na vás. Ovšem interval od 30 do 45 m, v němž leží skutečně uražená dráha, je více než veliký. Dobrá, tak zkusme být přesnější! Neuvažujme dělení časové osy po sekundách, ale po půl sekundě. V tom případě dolní suma nám vyjde 33,75 m a horní 41,25 m, opět kontrolní výpočet nechávám na vás. Vidíme, že k správně hodnotě 37,5 m se sice z obou hraníc intervalů přibližujeme, ale náš odhad je stále dost hrubý. Pokud bychom se chtěli dopracovat k ještě přesnějšímu výsledku, museli bychom uvažovat kratší a kratší dělení časové osy, např. po čtvrtině sekundy, pak desetině atd. Nakonec bychom asi začali tušit, že onou správnou hodnotou je právě 37, 5 m. Ovšem takový výpočet by ani nebyl tak těžký, jako otravně zdlouhavý.
Právě na odbourání podobně dlouhých a otravných výpočtů se docela hodí integrální počet. Pomocí operace integrování dokážeme vypočíst plochu pod téměř libovolnou křivkou, tedy za předpokladu, že známe matematické vyjádření dané křivky. V našem příkladu rovnici příslušné křivky známe, vždyť je to obyčejná přímka o rovnici v = at. Výpočet požadovaného řešení délky uražené dráhy pomocí integrálního počtu je uveden v bodě 3. Podrobný výklad si odpustíme z toho prostého důvodu, že zcela elementární povídání o integrálu jsem již kdysi napsal, viz zde. Je tam vysvětlen i výpočet právě toho integrálu, který jsme zde použili pro výpočet uražené dráhy. K pochopení si stačí přečíst jenom první polovinu celého textu.
Diferenciálnímu a integrálnímu počtu se někdy říká i počet inteligentní, protože tvoří základní násobilku tzv. vyšší matematiky, třebaže pojmy vyšší, nižší nebo elementární matematika bych moc nedoporučoval používat. Ono se totiž už nejednou ukázalo, že pojmy, které považujeme za zcela elementární a zcela jasné - je jedno zda v matematice, fyzice či v jiných dispciplínách - nejsou nejednou až tak elementární a jasné. V každém případě dobrý učitel by měl umět žáky či studenty šikovně motivovat k tomu, aby sami měli zájem o látku, který učí. Učitel znající perfektně jenom látku, kterou učí, není ideálním učitelem. Pokud neumí především lepším studentům názorně a jasně vysvětlit širší souvislosti probírané látky, stává se, ač nechtěně, brzdou jejich dalšího rozvoje.
A teď se na chvíli vrátím do časů, kdy jsem chodil na Základní devítiletou školu, jenom pro orientaci čtenáře, devítku jsem končil v roce 1971. No a právě v této třídě v matematice jsme počítali příklad na průměrnou rychlost, třebaže obsahem více patří do fyziky. Zadání bylo a je jednoduché. Jedete automobilem. Určitý úsek silnice, kupříkladu ať měří 30 km, frčíte rychlostí 90 km/hod a druhý úsek, který je stejně dlouhý, rychlostí 70 km/hod. Triviální výpočet, viz obrázek níže bod č. 1, dává velice pohledný výsledek. Na zadání příkladu mi již tehdy vadilo, že se jedná o stejné úseky. V řidičské praxi je to spíš teoretická možnost. V bodě č. 2. vidíte výpočet pro obecnější zadání, kdy délky úseků nejsou stejné. Pochopitelně když dosadíme do výsledného vzorce, že s1 = s2, musí nám vyjít stejný vzorec jako v bodě č. 1. Myslím si, že tohle je názorná ukázka toho, že někdy se vyplatí uvažovat obecnější, než okamžitě začít řešit speciální případ.
Když už si povídáme o průměrné rychlosti často se při jejím výpočtu dělá chyba v tom, že se vezmou rychlosti v jednotlivých úsecích a vydělí se počtem úseků; dále budeme pro jednoduchost uvažovat úseky dva. Obecně to není správný postup, ale v speciálním případě funguje. Otázka zní: V kterém? Představte si, že jedete půlhodinu rychlostí 90 km/hod a druhou půlhodinu rychlostí 70 km/hod, v tomto případě opravdu můžeme sečíst rychlosti a výsledek vydělit dvěma. V našem příkladu (90+70)/2 = 80 km/hod. Jenomže to si myslíme, důkaz je uveden v bodě č. 3.
Nevím, zda většina rodičů takhle nebo nějak podobně nedokáže dětem látku vysvětlit, nemluvě o tom, že zde se bavíme o matematice a fyzice, ale ve škole se učí předmětů více. Pokud ne, určitě to není hřích, vždyť od toho jsou tu přece učitelé, mají na to vzdělání a také jsou za to dobře placeni. Pokud tak budou činit alespoň částečně s nadšením (lásku ať si nechají v záloze raději na příjemnější aktivity), je možné, že žákům se tolik matematika nebo jiný předmět nebude hnusit. Takže, žáci a studenti, nezoufejte, pokud se vám momentálně matematika či jiný předmět hnusí, ať je již důvod jakýkoliv, možná že si „hnusný předmět“ časem docela oblíbíte (zamilování si nechte v záloze na příjemnější aktivity). Důvodů téhle náhlé či postupné změny může být několik. Člověk by měl být občas i optimista. Věřte mi, že vím, o čem mluvím, protože já jsem od přírody pesimista.
V Brně 21. září 2018.