Drobnosti k určitému integrálu
Dušan Polanský
Diferenciální a integrální počet je převážně vysokoškolská látka, ale jeho základy se berou i na některých středních školách, tedy hlavně gymnáziích. Můj populární výklad, jiný ani nemůže být, jelikož jsem laik, je určen právě těm, co zvládli základy tohoto počtu. Tento text v žádném případě není určen profesionálním matematikům, ti by se spíš měli starat, aby na knižním trhu byl pro nás laiky dostatek zajímavé matematické literatury v češtině a ne, aby lobbovali u politiků, kteří jsou obvykle s matematikou na štíru, pro povinnou maturitu z matematiky. Ale o tomto problému jsem již napsal svůj názor, čti zde. Ale již dost narážek na určitou profesní skupinu a jdeme integrovat.
Budeme si povídat o trochu nepříjemných drobnostech spojených s výpočtem určitého integrálu, tedy integrálu, který má definované integrační meze. Nakonec v praktických aplikacích počítáme obvykle určitý integrál, jelikož realita má vždy nějaké meze (hranice, mantinely), třebaže někdy mohou být i nekonečné.
Je docela známo, že někdy je výhodné při výpočtu integrálu použít vhodnou substituci, která může zjednodušit vlastní výpočet integrálu. Ovšem je důležité vědět, že při substituci v určitém integrálu se obvykle změní i integrační meze. Z tohoto důvodu v každé učebnici integrálního počtu najdeme větu o substituci. Osobně jsem sáhnul po větě o substituci v určitém integrálu v literatuře [1], viz obrázek č. 1. Číslo obrázku zjistíte po najetí kurzoru myši na obrázek.
Substituční funkce v tomto znění věty o substituci musí splňovat podmínku ryzí monotónnosti, což znamená, že musí být klesající nebo stoupající v nových integračních mezích. Matematik by nám řekl, že podmínku monotónnosti lze zmírnit, ale v běžné počtářské praxi lze jenom doporučit dodržování této podmínky, vyhněme se komplikacím.
Na obrázku č. 2 je spočten relativně jednoduchý určitý integrál, při jehož výpočtu jsme použili substituci x = asint, kde t se se mění od 0 do pí/2, čímž máme zajištěnou monotónnost funkce x = asint v integračních mezích od 0 do pí/2. Pomocné trigonometrické výpočty jsou pod vlastním výpočtem integrálu a * a ** odkazují na místo, kde byly při výpočtu integrálu příslušné vzorečky použity. Vidíme, že náš výpočet, jenž je uveden snad v každé učebnici, je v pořádku.
Leč mechanické použití substituce bez důsledné kontroly splnění podmínek uvedených ve větě o substituci s dost velikou jistotou může nás dovést k nesprávnému výsledku. Na obrázku č. 3 je při výpočtu velice jednoduchého určitého integrálu úmyslně použita chybná substituce x = 1/t, jež není monotónní v intervalu [-1,1]. Že výpočet nedopadne dobře, je pak téměř jisté. V bodě č. 2 je uveden správný výsledek a v bodě č. 3 je vysvětleno, kde jsme udělali chybu. Naše substituční funkce není monotónnív intervalu [-1,1], zlobí v bodě 0.
Na obrázku č. 4 je příklad chyták. Nahoře vidíme integrál, který máme spočíst. Ze školy víme, že integrování a derivování se mají k sobě asi jako sčítání a odčítání. V bodě č. 1 vidíme, že tahle úvaha nás dovede k nesprávnému výsledku. Proč? Protože funkce arctg(1/x) na rozdíl od funkce arctg(x) vykazuje nespojitost v bodě x = 0, což můžete vidět názorně na obrázcích č. 5 a č. 6. Nakonec i každý žák základní školy ví, že ve zlomku nesmí být v jmenovateli 0, jelikož takový zlomek není definován. Co s tím? Naštěstí v tomto příkladu je pomoc snadná. Spočteme derivaci funkce arctg(1/x), jak to nakonec zadání příkladu žádá a výsledek – 1/(1 + x2), je již funkce, která bodě 0 nezlobí. Správný výpočet je uveden v bodě č. 2. V bodě č. 3 je uveden jiný přístup, jak se dopracovat k správnému výsledku, a to vhodným definováním primitivní funkce. Tímto trikem jsme dosáhli spojitosti primitivní funkce v intervalu [-1,1]. Že je to pravda, můžete vidět na obrázku č. 7. Obrázky č. 5, 6 a 7 jsem vytvořil volně dostupným produktem [3].
Na vysokých technických školách se obvykle řeší příklady, v nichž se zde zmiňované komplikace nevyskytují, což nakonec svoji logiku má, protože cíle studia technického oboru jsou dost rozdílné od studia např. čisté matematiky, navíc ještě příslušného specializovaného oboru. Ale i přesto si myslím, že něco málo vědět i o některých atypičnostech se někdy může hodit. A navíc je pravda, že atypičností při výpočtu hlavně nevlastních integrálů je více než požehnaně např. ve fyzice, ale to již zájemce musím odkázat na vhodnou literaturu. A snad ještě jedna poznámka: tam kde matematik obvykle končí, tam technik či fyzik nebo chemik teprve začíná. Jejich role je daleko těžší, musí umět určitý matematický výsledek aplikovat na reálný jev, což obvykle není až tak jednoduché.
Literatura a pomůcky:
[1] Knichal Vl., Bašta A., Pišl M, Rektorys K.: Matematika II, Praha, SNTL/SVTL, 1966. Strana 167.
[2] Butuzov V. F. a kolektiv: Matematičeskij analiz v voprosach i zadačach. Moskva, Vysšaja škola, 1984.
[3] https://www.meta-calculator.com aplikace: graphing-calculator.
V Brně 26. srpna 2020.